Considere um disco delgado de raio R, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva sigma.
Analise a resposta obtida em (a) para R ll alpha;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que fala sobre um disco fino com raio R, carregado de forma uniforme com uma densidade superficial de carga positiva sigma. A parte (a) desse exercício provavelmente calculou o campo elétrico gerado por esse disco em um ponto a uma certa distância alpha do centro do disco. Agora, a gente precisa analisar o que acontece com esse campo elétrico quando o raio do disco R é muito menor que essa distância alpha (ou seja, quando R ll alpha).
Vamos precisar usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos de distribuições de carga, e aplicar limites para simplificar a expressão obtida na parte (a).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão do campo elétrico E no eixo central de um disco carregado uniformemente. Geralmente, essa expressão é dada por:
E = sigma2 varepsilon0 (1 - alpharaizalpha^2 + R^2)
Aqui, sigma é a densidade superficial de carga, varepsilon0 é a permissividade do vácuo, alpha é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o centro do disco, e R é o raio do disco.

Passo 3

Agora, queremos analisar esse campo elétrico quando o raio do disco é muito menor que a distância alpha, ou seja, quando R ll alpha. Nesse caso, podemos simplificar a expressão usando uma aproximação.
Vamos observar a parte dentro da raiz na expressão:
raizalpha^2 + R^2 approx alpha (1 + R^22 alpha^2)
Essa aproximação vem do desenvolvimento em série de Taylor para raiz1 + x quando x é muito pequeno (no nosso caso, x = R^2alpha^2 ll 1).

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original do campo elétrico, temos:
E approx sigma2 varepsilon0 (1 - alphaalpha (1 + R^22 alpha^2))
Simplificando os termos:
E approx sigma2 varepsilon0 (1 - 11 + R^22 alpha^2)
Agora, podemos expandir a fração:
11 + R^22 alpha^2 approx 1 - R^22 alpha^2

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:
E approx sigma2 varepsilon0 (1 - (1 - R^22 alpha^2)) = sigma2 varepsilon0 cdot R^22 alpha^2 = sigma R^24 varepsilon0 alpha^2

Passo 6

Agora, vamos lembrar que a carga total Q no disco é dada por:
Q = sigma cdot área = sigma cdot pi R^2 á
Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
E = Q4 pi varepsilon0 alpha^2
Essa é justamente a expressão do campo elétrico gerado por uma carga pontual Q a uma distância alpha.

Resposta

Quando o raio do disco R é muito menor que a distância alpha ( R ll alpha), o campo elétrico E gerado pelo disco se aproxima do campo elétrico de uma carga pontual, dado por:
E = Q4 pi varepsilon0 alpha^2
Onde Q = sigma pi R^2 é a carga total do disco.

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