Considere um disco delgado de raio , uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva .
Analise a resposta obtida em (a) para ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que fala sobre um disco fino com raio , carregado de forma uniforme com uma densidade superficial de carga positiva . A parte (a) desse exercício provavelmente calculou o campo elétrico gerado por esse disco em um ponto a uma certa distância do centro do disco. Agora, a gente precisa analisar o que acontece com esse campo elétrico quando o raio do disco é muito menor que essa distância (ou seja, quando ).
Vamos precisar usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos de distribuições de carga, e aplicar limites para simplificar a expressão obtida na parte (a).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão do campo elétrico no eixo central de um disco carregado uniformemente. Geralmente, essa expressão é dada por:
Aqui, é a densidade superficial de carga, é a permissividade do vácuo, é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o centro do disco, e é o raio do disco.
Passo 3
Agora, queremos analisar esse campo elétrico quando o raio do disco é muito menor que a distância , ou seja, quando . Nesse caso, podemos simplificar a expressão usando uma aproximação.
Vamos observar a parte dentro da raiz na expressão:
Essa aproximação vem do desenvolvimento em série de Taylor para quando é muito pequeno (no nosso caso, ).
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão original do campo elétrico, temos:
Simplificando os termos:
Agora, podemos expandir a fração:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:
Passo 6
Agora, vamos lembrar que a carga total no disco é dada por:
á
Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
Essa é justamente a expressão do campo elétrico gerado por uma carga pontual a uma distância .
Resposta
Quando o raio do disco é muito menor que a distância (), o campo elétrico gerado pelo disco se aproxima do campo elétrico de uma carga pontual, dado por: