Considere um disco delgado de raio , uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva .
Analise a resposta obtida em (a) para ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que fala sobre um disco fino com raio , carregado de forma uniforme com uma densidade superficial de carga positiva . A parte (a) desse exercício provavelmente calculou o campo elétrico gerado por esse disco em um ponto a uma certa distância do centro do disco. Agora, a gente precisa analisar o que acontece com esse campo elétrico quando o raio do disco é muito menor que essa distância (ou seja, quando ).
Vamos precisar usar conhecimentos de eletrostática, especificamente sobre campos elétricos de distribuições de carga, e aplicar limites para simplificar a expressão obtida na parte (a).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão do campo elétrico no eixo central de um disco carregado uniformemente. Geralmente, essa expressão é dada por:
Aqui, é a densidade superficial de carga, é a permissividade do vácuo, é a distância do ponto onde estamos calculando o campo até o centro do disco, e é o raio do disco.

Passo 3

Agora, queremos analisar esse campo elétrico quando o raio do disco é muito menor que a distância , ou seja, quando . Nesse caso, podemos simplificar a expressão usando uma aproximação.
Vamos observar a parte dentro da raiz na expressão:
Essa aproximação vem do desenvolvimento em série de Taylor para quando é muito pequeno (no nosso caso, ).

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original do campo elétrico, temos:
Simplificando os termos:
Agora, podemos expandir a fração:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do campo elétrico:

Passo 6

Agora, vamos lembrar que a carga total no disco é dada por:
á
Substituindo isso na expressão do campo elétrico:
Essa é justamente a expressão do campo elétrico gerado por uma carga pontual a uma distância .

Resposta

Quando o raio do disco é muito menor que a distância ( ), o campo elétrico gerado pelo disco se aproxima do campo elétrico de uma carga pontual, dado por:
Onde é a carga total do disco.

Exercícios relacionados

Considere um disco delgado de raio , uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva .
Utilizando a Lei de Gauss, calcule o campo elétrico no mesmo ponto e compare a resposta obtida com aquelas dos itens (b) e ©; Quais são as conclusões obtidas ao comparar as soluções?
Considere um disco delgado de raio , uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva .
Utilizando o Princípio da Superposição, mostre que o campo elétrico produzido pelo disco num ponto situado sobre o eixo de simetria do disco, que fica disposto ao longo do eixo , numa distância de sua superfície é dado por:
Considere um disco delgado de raio , uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva .
Analise a resposta obtida em (a) para ;
Considere, agora, dois discos planos delgados de raio R, colocados paralelamente um sobre o outro com uma distância entre eles. Considere . Um dos discos possui densidade superficial de carga e o outro . Determine o campo elétrico em toda a região do espaço desse capacitor, isto é, entre as placas e fora delas.