Considere um disco delgado de raio
, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva
.
Utilizando o Princípio da Superposição, mostre que o campo elétrico produzido pelo disco num ponto
situado sobre o eixo de simetria do disco, que fica disposto ao longo do eixo
, numa distância
de sua superfície é dado por:
Utilizando o Princípio da Superposição, mostre que o campo elétrico produzido pelo disco num ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática envolvendo um disco carregado uniformemente. O objetivo é achar o campo elétrico num ponto específico sobre o eixo de simetria desse disco. Para resolver, vamos usar o Princípio da Superposição, que basicamente diz que o campo total é a soma de todos os campos individuais das partes do disco. Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre campos elétricos de superfícies carregadas e como somar esses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o disco como sendo formado por muitos anéis fininhos com carga. Cada anel tem um raio diferente, e cada um contribui com um pedacinho do campo elétrico total no ponto P. Vamos considerar um anel com raio r e espessura dr.
Passo 3
A carga desse anel, dq, pode ser calculada pela densidade superficial de carga, σ, vezes a área do anel. A área de um anel é a circunferência vezes a espessura:
Passo 4
Agora, vamos achar o campo elétrico gerado por esse anel no ponto P. Sabemos que, por simetria, só a componente na direção z (ao longo do eixo) vai somar; as componentes radiais se cancelam. A f��rmula do campo elétrico de um anel no eixo é:
onde a é a distância do centro do disco até o ponto P.
Passo 5
Substituindo dq na expressão do dE:
Passo 6
Para achar o campo total E, integramos dE de r = 0 até r = R:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição u = a² + r², du = 2r dr, então:
Passo 8
Aplicando os limites da integral de 0 a R:
Passo 9
Portanto, o campo elétrico total é:
Resposta
O campo elétrico no ponto P é dado por:
Exercícios relacionados
Em um circuito
, suponha,
e
.
Determine também;
g) o ângulo de fase correspondente
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g) o ângulo de fase correspondente
Em um circuito
, suponha,
e
.
a) Para qual valor de capacitância a potência dissipada na resistência é máxima?
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Considere um disco delgado de raio
, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva
.
Utilizando a Lei de Gauss, calcule o campo elétrico no mesmo ponto e compare a resposta obtida com aquelas dos itens (b) e ©; Quais são as conclusões obtidas ao comparar as soluções?
Utilizando a Lei de Gauss, calcule o campo elétrico no mesmo ponto
Considere um disco delgado de raio
, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva
.
Analise a resposta obtida em (a) para ;
Analise a resposta obtida em (a) para