Considere um disco delgado de raio , uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva .
Utilizando o Princípio da Superposição, mostre que o campo elétrico produzido pelo disco num ponto situado sobre o eixo de simetria do disco, que fica disposto ao longo do eixo , numa distância de sua superfície é dado por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática envolvendo um disco carregado uniformemente. O objetivo é achar o campo elétrico num ponto específico sobre o eixo de simetria desse disco. Para resolver, vamos usar o Princípio da Superposição, que basicamente diz que o campo total é a soma de todos os campos individuais das partes do disco. Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre campos elétricos de superfícies carregadas e como somar esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco como sendo formado por muitos anéis fininhos com carga. Cada anel tem um raio diferente, e cada um contribui com um pedacinho do campo elétrico total no ponto P. Vamos considerar um anel com raio r e espessura dr.

Passo 3

A carga desse anel, dq, pode ser calculada pela densidade superficial de carga, σ, vezes a área do anel. A área de um anel é a circunferência vezes a espessura:

Passo 4

Agora, vamos achar o campo elétrico gerado por esse anel no ponto P. Sabemos que, por simetria, só a componente na direção z (ao longo do eixo) vai somar; as componentes radiais se cancelam. A f��rmula do campo elétrico de um anel no eixo é:
onde a é a distância do centro do disco até o ponto P.

Passo 5

Substituindo dq na expressão do dE:

Passo 6

Para achar o campo total E, integramos dE de r = 0 até r = R:

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição u = a² + r², du = 2r dr, então:

Passo 8

Aplicando os limites da integral de 0 a R:

Passo 9

Portanto, o campo elétrico total é:

Resposta

O campo elétrico no ponto P é dado por:

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