Considere um disco delgado de raio R, uniformemente carregado com uma densidade superficial de carga positiva sigma.
Utilizando o Princípio da Superposição, mostre que o campo elétrico produzido pelo disco num ponto P situado sobre o eixo de simetria do disco, que fica disposto ao longo do eixo z, numa distância a de sua superfície é dado por:
E(P)=sigma a2 varepsilon0[1a-1raiza^2+R^2] k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de eletrostática envolvendo um disco carregado uniformemente. O objetivo é achar o campo elétrico num ponto específico sobre o eixo de simetria desse disco. Para resolver, vamos usar o Princípio da Superposição, que basicamente diz que o campo total é a soma de todos os campos individuais das partes do disco. Vamos precisar conhecer um pouquinho sobre campos elétricos de superfícies carregadas e como somar esses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o disco como sendo formado por muitos anéis fininhos com carga. Cada anel tem um raio diferente, e cada um contribui com um pedacinho do campo elétrico total no ponto P. Vamos considerar um anel com raio r e espessura dr.

Passo 3

A carga desse anel, dq, pode ser calculada pela densidade superficial de carga, σ, vezes a área do anel. A área de um anel é a circunferência vezes a espessura:
dq = sigma cdot 2pi r , dr

Passo 4

Agora, vamos achar o campo elétrico gerado por esse anel no ponto P. Sabemos que, por simetria, só a componente na direção z (ao longo do eixo) vai somar; as componentes radiais se cancelam. A f��rmula do campo elétrico de um anel no eixo é:
dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot a(a^2 + r^2)^3/2
onde a é a distância do centro do disco até o ponto P.

Passo 5

Substituindo dq na expressão do dE:
dE = 14pivarepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r , dr cdot a(a^2 + r^2)^3/2 = sigma a2varepsilon0 cdot r , dr(a^2 + r^2)^3/2

Passo 6

Para achar o campo total E, integramos dE de r = 0 até r = R:
E = integral0^R sigma a2varepsilon0 cdot r , dr(a^2 + r^2)^3/2

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral r , dr(a^2 + r^2)^3/2
Fazendo a substituição u = a² + r², du = 2r dr, então:
12 integral u^-3/2 du = 12 ( -2u^-1/2 ) = -u^-1/2 = -1raiza^2 + r^2

Passo 8

Aplicando os limites da integral de 0 a R:
- 1raiza^2 + R^2 + 1a

Passo 9

Portanto, o campo elétrico total é:
E = sigma a2varepsilon0 ( 1a - 1raiza^2 + R^2 ) k

Resposta

O campo elétrico no ponto P é dado por:
E(P)=sigma a2 varepsilon0[1a-1raiza^2+R^2] k

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