Considere um dispositivo formado por um bloco de massa M atado a uma mola cuja constante vale 2 0 N / m e a massa é desprezível, em repouso sobre uma mesa horizontal na posição de equilíbrio. Este sistema é atingido por uma pequena bola de 4 0 g de argila, que se movimenta a 6 0 m / s, resultando em um movimento descrito por -d x / d t-2 0 x=2 d^2 x / d t^2. Se a bola fica grudada no bloco, encontre a expressão para o deslocamento do sistema oscilatório.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema composto por um bloco de massa M conectado a uma mola com constante elástica de 20, N/m. Esse sistema está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio. Uma bola de argila com massa de 40, g (ou 0,04, kg) atinge o bloco com uma velocidade de 6, m/s e fica grudada nele. Depois da colisão, o sistema começa a oscilar.
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de colisões e movimento harmônico simples para resolver esse problema. Primeiro, vamos entender como a colisão afeta o sistema, e depois determinar a expressão para o deslocamento das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do sistema bloco-bola imediatamente após a colisão. Como a massa da mola é desprezível e a colisão é inelástica (a bola fica presa no bloco), usamos a conservação do momento linear.
A fórmula da conservação do momento linear é:
m1 v1 = (m1 + m2) v
Onde:
  • m1 = 0,04, kg (massa da bola)
  • v1 = 6, m/s (velocidade da bola antes da colisão)
  • m2 = M (massa do bloco)
  • v é a velocidade comum após a colisão
Rearranjando para encontrar v:
v = m1 v1m1 + m2

Passo 3

Agora, depois da colisão, o sistema bloco-bola está em movimento e começa a oscilar devido à força restauradora da mola. Esse movimento pode ser descrito pela equação diferencial do movimento harmônico simples com amortecimento ou com algum termo adicional.
No enunciado, temos a equação:
-dxdt - 20x = 2 d^2xdt^2
Vamos reorganizar essa equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial de segunda ordem:
2 d^2xdt^2 + dxdt + 20x = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
d^2xdt^2 + 12 dxdt + 10x = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 4

Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma:
x(t) = e^lambda t
Derivando:
dxdt = lambda e^lambda t
d^2xdt^2 = lambda^2 e^lambda t
Substituindo na equação diferencial:
lambda^2 e^lambda t + 12 lambda e^lambda t + 10 e^lambda t = 0
Dividindo por e^lambda t (que nunca é zero):
lambda^2 + 12 lambda + 10 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para lambda:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde:
  • a = 1
  • b = 12
  • c = 10
Calculando o discriminante:
De
Como De, temos raízes complexas:
lambda = -12 pm raiz-15942 = -14 pm raiz1594i

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é então:
x(t) = e^-14 t ( C1 cos(raiz1594 t) + C2 sin(raiz1594 t) )
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2. Na colisão, imediatamente após, o deslocamento x(0) = 0 (porque o bloco estava na posição de equilíbrio) e a velocidade inicial v(0) é a velocidade do sistema após a colisão, que calculamos no Passo 2.
Então:
  • x(0) = 0 = C1
  • v(0) = m1 v1m1 + m2 = 0,04 times 60,04 + M = 0,240,04 + M
Derivando x(t) para obter v(t):
v(t) = dxdt = -14 e^-14 t ( C1 cos(raiz1594 t) + C2 sin(raiz1594 t) ) + e^-14 t ( -C1 raiz1594 sin(raiz1594 t) + C2 raiz1594 cos(raiz1594 t) )
Substituindo C1 = 0:
v(0) = e^0 ( C2 raiz1594 ) = raiz1594 C2
Igualando à velocidade inicial:
raiz1594 C2 = 0,240,04 + M
C2 = 0,240,04 + M times 4raiz159 = 0,96(0,04 + M)raiz159

Passo 8

Substituindo C1 = 0 e C2 na solução geral:
x(t) = e^-14 t ( 0 + 0,96(0,04 + M)raiz159 sin(raiz1594 t) )
Simplificando:
x(t) = 0,96(0,04 + M)raiz159 e^-14 t sin(raiz1594 t)

Resposta

A expressão para o deslocamento do sistema oscilatório é:
x(t) = 0,96(0,04 + M)raiz159 , e^-14 t sin(raiz1594 t)

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