Considere um dispositivo formado por um bloco de massa
atado a uma mola cuja constante vale
e a massa é desprezível, em repouso sobre uma mesa horizontal na posição de equilíbrio. Este sistema é atingido por uma pequena bola de
de argila, que se movimenta a
, resultando em um movimento descrito por
. Se a bola fica grudada no bloco, encontre a expressão para o deslocamento do sistema oscilatório.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema composto por um bloco de massa
conectado a uma mola com constante elástica de
. Esse sistema está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio. Uma bola de argila com massa de
(ou
) atinge o bloco com uma velocidade de
e fica grudada nele. Depois da colisão, o sistema começa a oscilar.
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de colisões e movimento harmônico simples para resolver esse problema. Primeiro, vamos entender como a colisão afeta o sistema, e depois determinar a expressão para o deslocamento das oscilações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade do sistema bloco-bola imediatamente após a colisão. Como a massa da mola é desprezível e a colisão é inelástica (a bola fica presa no bloco), usamos a conservação do momento linear.
A fórmula da conservação do momento linear é:
Onde:
-
(massa da bola) -
(velocidade da bola antes da colisão) -
(massa do bloco) -
é a velocidade comum após a colisão
Rearranjando para encontrar
:
Passo 3
Agora, depois da colisão, o sistema bloco-bola está em movimento e começa a oscilar devido à força restauradora da mola. Esse movimento pode ser descrito pela equação diferencial do movimento harmônico simples com amortecimento ou com algum termo adicional.
No enunciado, temos a equação:
Vamos reorganizar essa equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial de segunda ordem:
Dividindo todos os termos por
para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 4
Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Onde:
Calculando o discriminante:
Como
, temos raízes complexas:
Passo 6
A solução geral da equação diferencial é então:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
. Na colisão, imediatamente após, o deslocamento
(porque o bloco estava na posição de equilíbrio) e a velocidade inicial
é a velocidade do sistema após a colisão, que calculamos no Passo 2.
Então:
Derivando
para obter
:
Substituindo
:
Igualando à velocidade inicial:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
A expressão para o deslocamento do sistema oscilatório é:
Exercícios relacionados
A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de
. No instante inicial
o oscilador é posto em movimento com velocidade
, estando na posição
. Encontre
e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos: (a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
.
Seja um corpo de
ligado a uma mola de constante de força de
, oscilando com a amplitude de
. Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição
em relação à posição de equilíbrio
© o tempo que o corpo leva para ir de
até
.
Um sistema massa-mola forçado com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igua a
e um corpo de massa igual a
. A constante de atrito do oscilador é igual a
. A amplitude do oscilador na ressonância é igual
. a) Calcule o valor máximo
da força externa aplicada nesse oscilado. b) Encontre a amplitude para baixas frequências e o fator de qualidade.
Um oscilador forçado, com amortecimento, tem frequência angular natural de
, fator de amortecimento de
, a massa do corpo que oscila é igual a
e a força externa que atua no oscilador tem módulo igual a 20 N. a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for
?