Considere um dispositivo formado por um bloco de massa atado a uma mola cuja constante vale e a massa é desprezível, em repouso sobre uma mesa horizontal na posição de equilíbrio. Este sistema é atingido por uma pequena bola de de argila, que se movimenta a , resultando em um movimento descrito por . Se a bola fica grudada no bloco, encontre a expressão para o deslocamento do sistema oscilatório.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema composto por um bloco de massa conectado a uma mola com constante elástica de . Esse sistema está inicialmente em repouso na posição de equilíbrio. Uma bola de argila com massa de (ou ) atinge o bloco com uma velocidade de e fica grudada nele. Depois da colisão, o sistema começa a oscilar.
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de colisões e movimento harmônico simples para resolver esse problema. Primeiro, vamos entender como a colisão afeta o sistema, e depois determinar a expressão para o deslocamento das oscilações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade do sistema bloco-bola imediatamente após a colisão. Como a massa da mola é desprezível e a colisão é inelástica (a bola fica presa no bloco), usamos a conservação do momento linear.
A fórmula da conservação do momento linear é:
Onde:
  • (massa da bola)
  • (velocidade da bola antes da colisão)
  • (massa do bloco)
  • é a velocidade comum após a colisão
Rearranjando para encontrar :

Passo 3

Agora, depois da colisão, o sistema bloco-bola está em movimento e começa a oscilar devido à força restauradora da mola. Esse movimento pode ser descrito pela equação diferencial do movimento harmônico simples com amortecimento ou com algum termo adicional.
No enunciado, temos a equação:
Vamos reorganizar essa equação para ficar no formato padrão de uma equação diferencial de segunda ordem:
Dividindo todos os termos por para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 4

Para resolver essa equação, assumimos uma solução da forma:
Derivando:
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo por (que nunca é zero):

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Onde:
Calculando o discriminante:
Como , temos raízes complexas:

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é então:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e . Na colisão, imediatamente após, o deslocamento (porque o bloco estava na posição de equilíbrio) e a velocidade inicial é a velocidade do sistema após a colisão, que calculamos no Passo 2.
Então:
Derivando para obter :
Substituindo :
Igualando à velocidade inicial:

Passo 8

Substituindo e na solução geral:
Simplificando:

Resposta

A expressão para o deslocamento do sistema oscilatório é:

Exercícios relacionados

A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de . No instante inicial o oscilador é posto em movimento com velocidade , estando na posição . Encontre e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos: (a) ; (b) ; © ; (d) ; (e) .
Seja um corpo de ligado a uma mola de constante de força de , oscilando com a amplitude de . Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição em relação à posição de equilíbrio © o tempo que o corpo leva para ir de até .
Um sistema massa-mola forçado com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igua a e um corpo de massa igual a . A constante de atrito do oscilador é igual a . A amplitude do oscilador na ressonância é igual . a) Calcule o valor máximo da força externa aplicada nesse oscilado. b) Encontre a amplitude para baixas frequências e o fator de qualidade.
Um oscilador forçado, com amortecimento, tem frequência angular natural de , fator de amortecimento de , a massa do corpo que oscila é igual a e a força externa que atua no oscilador tem módulo igual a 20 N. a) Qual a amplitude do movimento oscilatório no regime estacionário, quando a frequência externa for ?