Seja um corpo de 0 , 4 k g ligado a uma mola de constante de força de 1 2 N / m, oscilando com a amplitude de 8 c m. Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição x=4 c m em relação à posição de equilíbrio x=0 e © o tempo que o corpo leva para ir de x=0 até x=4 c m.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um corpo de preso a uma mola com constante de força . Esse sistema está oscilando com uma amplitude de . A gente precisa calcular três coisas:
a) A velocidade máxima do corpo.
b) As velocidades e acelerações quando o corpo está na posição .
c) O tempo que o corpo leva para ir de até .
Vamos usar conceitos de física de movimentos harmônicos simples e algumas fórmulas matemáticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade máxima do corpo. No movimento harmônico simples, a velocidade máxima vmax = A cdot omega ocorre quando o corpo passa pela posição de equilíbrio ( ). A fórmula para a velocidade máxima é:
Onde:
  • é a amplitude.
  • é a frequência angular.

Passo 3

Para encontrar omega = raizkm , usamos a relação entre a constante da mola omega = raiz12 , N/m0,4 , kg = raiz30 approx 5,477 , rad/s e a massa :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos converter a amplitude de A = 8 , cm = 0,08 , m para metros:
vmax = 0,08 , m times 5,477 , rad/s approx 0,438 , m/s
Então, a velocidade máxima é:

Passo 5

Parabéns, calculamos a parte (a)! A velocidade máxima do corpo é aproximadamente .

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos a velocidade e a aceleração quando o corpo está na posição v = omega raizA^2 - x^2 . Primeiro, a velocidade em uma posição específica no movimento harmônico simples é dada por:
a = -omega^2 x
E a aceleração é:

Passo 7

Convertendo x = 4 , cm = 0,04 , m para metros:
v = 5,477 , rad/s times raiz(0,08 , m)^2 - (0,04 , m)^2 = 5,477 times raiz0,0064 - 0,0016 = 5,477 times raiz0,0048 approx 5,477 times 0,0693 approx 0,379 , m/s
Agora, calculando a velocidade:

Passo 8

Agora, a aceleração:
a = - (5,477)^2 times 0,04 approx -29,998 times 0,04 approx -1,2 , m/s^2
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta ao deslocamento.

Passo 9

Então, na posição , a velocidade é aproximadamente e a aceleração é (considerando apenas o módulo).

Passo 10

Agora, vamos para a parte ©. Queremos o tempo que o corpo leva para ir de x(t) = A cos(omega t + phi) até . Para isso, podemos usar a equação da posição no movimento harmônico simples:
Como estamos partindo de , assumimos que (deslocamento inicial).

Passo 11

Resolvendo para 0,04 = 0,08 cos(5,477 t - pi2) quando cos(5,477 t - pi2) = 0,5 :
5,477 t - pi2 = arccos(0,5) = pi3
5,477 t = pi3 + pi2 = 5pi6
t = 5pi6 times 5,477 approx 2,6185,477 approx 0,478 , s

Resposta

a) A velocidade máxima do corpo é aproximadamente .
b) Quando , a velocidade é e a aceleração é .
c) O tempo para ir de até é aproximadamente .

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