Seja um corpo de ligado a uma mola de constante de força de , oscilando com a amplitude de . Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição em relação à posição de equilíbrio © o tempo que o corpo leva para ir de até .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um corpo de preso a uma mola com constante de força . Esse sistema está oscilando com uma amplitude de . A gente precisa calcular três coisas:
a) A velocidade máxima do corpo.
b) As velocidades e acelerações quando o corpo está na posição .
c) O tempo que o corpo leva para ir de até .
Vamos usar conceitos de física de movimentos harmônicos simples e algumas fórmulas matemáticas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade máxima do corpo. No movimento harmônico simples, a velocidade máxima ocorre quando o corpo passa pela posição de equilíbrio ( ). A fórmula para a velocidade máxima é:
Onde:
  • é a amplitude.
  • é a frequência angular.

Passo 3

Para encontrar , usamos a relação entre a constante da mola e a massa :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos converter a amplitude de para metros:
Então, a velocidade máxima é:

Passo 5

Parabéns, calculamos a parte (a)! A velocidade máxima do corpo é aproximadamente .

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos a velocidade e a aceleração quando o corpo está na posição . Primeiro, a velocidade em uma posição específica no movimento harmônico simples é dada por:
E a aceleração é:

Passo 7

Convertendo para metros:
Agora, calculando a velocidade:

Passo 8

Agora, a aceleração:
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta ao deslocamento.

Passo 9

Então, na posição , a velocidade é aproximadamente e a aceleração é (considerando apenas o módulo).

Passo 10

Agora, vamos para a parte ©. Queremos o tempo que o corpo leva para ir de até . Para isso, podemos usar a equação da posição no movimento harmônico simples:
Como estamos partindo de , assumimos que (deslocamento inicial).

Passo 11

Resolvendo para quando :

Resposta

a) A velocidade máxima do corpo é aproximadamente .
b) Quando , a velocidade é e a aceleração é .
c) O tempo para ir de até é aproximadamente .

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