A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de
. No instante inicial
o oscilador é posto em movimento com velocidade
, estando na posição
. Encontre
e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos: (a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre a frequência angular natural de um oscilador amortecido, que é
. No instante inicial (
), o oscilador está na posição
e com uma velocidade inicial de
. O que precisamos encontrar é a posição
em função do tempo para diferentes valores do coeficiente de amortecimento
. Para resolver isso, vamos usar a teoria dos osciladores amortecidos e aplicar as fórmulas correspondentes para cada caso de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve o movimento de um oscilador amortecido:
onde
é a frequência angular natural, que no nosso caso é
.
Passo 3
A solução dessa equação depende do valor de
em relação a
. Existem três casos:
- Oscilação não amortecida (
) - Oscilação subamortecida (
) - Oscilação superamortecida (
)
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso (a):
Aqui, não há amortecimento. A equação fica:
A solução geral é:
Usando as condições iniciais
e
:
Passo 5
Caso (b):
Aqui,
, então temos uma oscilação subamortecida. A frequência amortecida é:
A solução é:
Usando as condições iniciais:
Passo 6
Caso ©:
Aqui,
, então temos uma oscilação criticamente amortecida. A solução é:
Usando as condições iniciais:
Passo 7
Caso (d):
Aqui,
, então temos uma oscilação superamortecida. As raízes características são reais e distintas:
A solução é:
Usando as condições iniciais:
Após resolver, encontramos:
Passo 8
Caso (e):
Novamente,
, então é superamortecido. As raízes são:
A solução é:
Usando as condições iniciais e resolvendo para A e B:
Resposta
As funções de posição
para cada caso são:
a)
:
b)
:
c)
:
d)
:
e)
: