A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de
. No instante inicial
o oscilador é posto em movimento com velocidade
, estando na posição
. Encontre
e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos: (a)
; (b)
; ©
; (d)
; (e)
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre a frequência angular natural de um oscilador amortecido, que é
. No instante inicial (
), o oscilador está na posição
e com uma velocidade inicial de
. O que precisamos encontrar é a posição
em função do tempo para diferentes valores do coeficiente de amortecimento
. Para resolver isso, vamos usar a teoria dos osciladores amortecidos e aplicar as fórmulas correspondentes para cada caso de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve o movimento de um oscilador amortecido:
onde
é a frequência angular natural, que no nosso caso é
.
Passo 3
A solução dessa equação depende do valor de
em relação a
. Existem três casos:
- Oscilação não amortecida (
) - Oscilação subamortecida (
) - Oscilação superamortecida (
)
Vamos analisar cada caso separadamente.
Passo 4
Caso (a):
Aqui, não há amortecimento. A equação fica:
A solução geral é:
Usando as condições iniciais
e
:
Passo 5
Caso (b):
Aqui,
, então temos uma oscilação subamortecida. A frequência amortecida é:
A solução é:
Usando as condições iniciais:
Passo 6
Caso ©:
Aqui,
, então temos uma oscilação criticamente amortecida. A solução é:
Usando as condições iniciais:
Passo 7
Caso (d):
Aqui,
, então temos uma oscilação superamortecida. As raízes características são reais e distintas:
A solução é:
Usando as condições iniciais:
Após resolver, encontramos:
Passo 8
Caso (e):
Novamente,
, então é superamortecido. As raízes são:
A solução é:
Usando as condições iniciais e resolvendo para A e B:
Resposta
As funções de posição
para cada caso são:
a)
:
b)
:
c)
:
d)
:
e)
:
Exercícios relacionados
Seja um corpo de
ligado a uma mola de constante de força de
, oscilando com a amplitude de
. Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição
em relação à posição de equilíbrio
© o tempo que o corpo leva para ir de
até
.
Um sistema massa-mola horizontal é formado por um corpo de massa
e uma mola de constante
, e descreve um MHS com amplitude A. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de massa
cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura e gruda no bloco. (a) Calcule a nova amplitude e o novo período. (b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua trajetória.
Considere um dispositivo formado por um bloco de massa
atado a uma mola cuja constante vale
e a massa é desprezível, em repouso sobre uma mesa horizontal na posição de equilíbrio. Este sistema é atingido por uma pequena bola de
de argila, que se movimenta a
, resultando em um movimento descrito por
. Se a bola fica grudada no bloco, encontre a expressão para o deslocamento do sistema oscilatório.
Um sistema massa-mola forçado com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igua a
e um corpo de massa igual a
. A constante de atrito do oscilador é igual a
. A amplitude do oscilador na ressonância é igual
. a) Calcule o valor máximo
da força externa aplicada nesse oscilado. b) Encontre a amplitude para baixas frequências e o fator de qualidade.