A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de 1 r a d / s. No instante inicial t=0 o oscilador é posto em movimento com velocidade v0=5 c m / s, estando na posição x0=0. Encontre x(t) e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos: (a) gamma=0 s^-1; (b) gamma=0,1 s^-1; © gamma=1 s^-1; (d) gamma=2,0 s^-1; (e) gamma=3,0 s^-1.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre a frequência angular natural de um oscilador amortecido, que é . No instante inicial ( ), o oscilador está na posição e com uma velocidade inicial de . O que precisamos encontrar é a posição em função do tempo para diferentes valores do coeficiente de amortecimento . Para resolver isso, vamos usar a teoria dos osciladores amortecidos e aplicar as fórmulas correspondentes para cada caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve o movimento de um oscilador amortecido:
d^2xdt^2 + 2gamma dxdt + omega0^2 x = 0
onde é a frequência angular natural, que no nosso caso é .

Passo 3

A solução dessa equação depende do valor de em relação a . Existem três casos:
  1. Oscilação não amortecida ( )
  2. Oscilação subamortecida ( )
  3. Oscilação superamortecida ( )
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso (a): d^2xdt^2 + omega0^2 x = 0
Aqui, não há amortecimento. A equação fica:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
A solução geral é:
x(t) = v0omega0 sin(omega0 t) = 5 sin(t) , cm
Usando as condições iniciais e :

Passo 5

Caso (b): omegad = raizomega0^2 - gamma^2 = raiz1 - 0.01 = raiz0.99 approx 0,995 , rad/s
Aqui, x(t) = e^-gamma t ( A cos(omegad t) + B sin(omegad t) ) , então temos uma oscilação subamortecida. A frequência amortecida é:
x(t) = v0 + gamma x0omegad e^-gamma t sin(omegad t) = 50.995 e^-0.1 t sin(0.995 t) approx 5.03 e^-0.1 t sin(0.995 t) , cm
A solução é:
Usando as condições iniciais:

Passo 6

Caso ©: x(t) = (A + B t) e^-gamma t
Aqui, x(t) = ( 0 + v01 t ) e^-t = 5 t e^-t , cm , então temos uma oscilação criticamente amortecida. A solução é:
Usando as condições iniciais:

Passo 7

Caso (d): r1,2 = -gamma pm raizgamma^2 - omega0^2 = -2 pm raiz4 - 1 = -2 pm raiz3
Aqui, x(t) = A e^(-2 + raiz3)t + B e^(-2 - raiz3)t , então temos uma oscilação superamortecida. As raízes características são reais e distintas:
x(t) = v0 - A r1 - B r2determinante , (determinar A e B)
A solução é:
x(t) = ( 52raiz3 ) ( e^(-2 + raiz3)t - e^(-2 - raiz3)t ) approx 1.443 e^-2t sinh(raiz3 t) , cm
Usando as condições iniciais:
Após resolver, encontramos:

Passo 8

Caso (e): r1,2 = -3 pm raiz9 - 1 = -3 pm raiz8 = -3 pm 2raiz2
Novamente, x(t) = A e^(-3 + 2raiz2)t + B e^(-3 - 2raiz2)t , então é superamortecido. As raízes são:
x(t) = ( 54raiz2 ) ( e^(-3 + 2raiz2)t - e^(-3 - 2raiz2)t ) approx 0.883 e^-3t sinh(2raiz2 t) , cm
A solução é:
Usando as condições iniciais e resolvendo para A e B:

Resposta

As funções de posição x(t) = 5 sin(t) , cm para cada caso são:
a) x(t) approx 5.03 e^-0.1 t sin(0.995 t) , cm :
x(t) = 5 t e^-t , cm
b) x(t) approx 1.443 e^-2t sinh(raiz3 t) , cm :
x(t) approx 0.883 e^-3t sinh(2raiz2 t) , cm
c) :
d) :
e) :

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