A frequência angular natural de um oscilador amortecido tem valor de . No instante inicial o oscilador é posto em movimento com velocidade , estando na posição . Encontre e esboce um gráfico em cada um dos seguintes casos: (a) ; (b) ; © ; (d) ; (e) .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre a frequência angular natural de um oscilador amortecido, que é . No instante inicial ( ), o oscilador está na posição e com uma velocidade inicial de . O que precisamos encontrar é a posição em função do tempo para diferentes valores do coeficiente de amortecimento . Para resolver isso, vamos usar a teoria dos osciladores amortecidos e aplicar as fórmulas correspondentes para cada caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve o movimento de um oscilador amortecido:
onde é a frequência angular natural, que no nosso caso é .

Passo 3

A solução dessa equação depende do valor de em relação a . Existem três casos:
  1. Oscilação não amortecida ( )
  2. Oscilação subamortecida ( )
  3. Oscilação superamortecida ( )
Vamos analisar cada caso separadamente.

Passo 4

Caso (a):
Aqui, não há amortecimento. A equação fica:
A solução geral é:
Usando as condições iniciais e :

Passo 5

Caso (b):
Aqui, , então temos uma oscilação subamortecida. A frequência amortecida é:
A solução é:
Usando as condições iniciais:

Passo 6

Caso ©:
Aqui, , então temos uma oscilação criticamente amortecida. A solução é:
Usando as condições iniciais:

Passo 7

Caso (d):
Aqui, , então temos uma oscilação superamortecida. As raízes características são reais e distintas:
A solução é:
Usando as condições iniciais:
Após resolver, encontramos:

Passo 8

Caso (e):
Novamente, , então é superamortecido. As raízes são:
A solução é:
Usando as condições iniciais e resolvendo para A e B:

Resposta

As funções de posição para cada caso são:
a) :
b) :
c) :
d) :
e) :

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Seja um corpo de ligado a uma mola de constante de força de , oscilando com a amplitude de . Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição em relação à posição de equilíbrio © o tempo que o corpo leva para ir de até .
Um sistema massa-mola horizontal é formado por um corpo de massa e uma mola de constante , e descreve um MHS com amplitude A. No instante em que o bloco passa pela posição de equilíbrio, um pedaço de massa de vidraceiro de massa cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura e gruda no bloco. (a) Calcule a nova amplitude e o novo período. (b) Repita a parte (a) supondo que a massa caia sobre o bloco no momento em que ele está na extremidade de sua trajetória.
Considere um dispositivo formado por um bloco de massa atado a uma mola cuja constante vale e a massa é desprezível, em repouso sobre uma mesa horizontal na posição de equilíbrio. Este sistema é atingido por uma pequena bola de de argila, que se movimenta a , resultando em um movimento descrito por . Se a bola fica grudada no bloco, encontre a expressão para o deslocamento do sistema oscilatório.
Um sistema massa-mola forçado com amortecimento fraco, é formado por uma mola de constante elástica igua a e um corpo de massa igual a . A constante de atrito do oscilador é igual a . A amplitude do oscilador na ressonância é igual . a) Calcule o valor máximo da força externa aplicada nesse oscilado. b) Encontre a amplitude para baixas frequências e o fator de qualidade.