Considere uma distribuição de partículas carregadas com simetria esférica. O módulo da carga para a distribuição é e o raio da distribuição é . O potencial eletrostático varia com a distância radial do centro da distribuição, dado por:
a) Qual é o campo elétrico nessas três regiões? Utilize nos cálculos.
b) Descreva um conjunto de objetos que pode produzir um potencial eletrostático que se comporta dessa maneira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma distribuição de partículas carregadas com simetria esférica. A carga total é e o raio dessa distribuição é . O potencial eletrostático depende da distância radial do centro e é definido em três regiões diferentes:
Vamos precisar entender como relacionar o potencial eletrostático com o campo elétrico para encontrar o campo em cada uma dessas regiões. Para isso, usaremos a relação entre o campo elétrico e o potencial, além de considerar as condições de simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, lembremos que o campo elétrico está relacionado ao potencial eletrostático pela seguinte relação:
Como estamos lidando com simetria esférica, o gradiente em coordenadas esféricas simplifica para:
Então, para encontrar o campo elétrico em cada região, precisamos derivar o potencial em relação a .

Passo 3

Vamos derivar para cada uma das três regiões:
  1. Para :
Derivando em relação a :
  1. Para :
Derivando em relação a :
  1. Para :
Derivando em relação a :

Resposta

O campo elétrico nas três regiões é dado por:

Exercícios relacionados

Duas placas condutoras paralelas possuem cargas iguais e opostas em sinal. As placas são grandes comparadas com a distância entre elas. A diferença de potencial entre elas é de e a separação entre elas é de 2 cm.
a) Qual é o valor numérico da densidade superficial de carga nas placas?
b) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico em um elétron se ele se move da placa negativa para a placa positiva?
c) Qual é o trabalho realizado por um agente externo para retornar o elétron da placa positiva para a placa negativa?
A partir dos seguintes potenciais eletrostático em certa região do espaço, determine o vetor campo elétrico em todos os pontos dessa região.
a) , onde e são contantes positivas.
b) .
c) , onde e são contantes positivas.
d) , onde é positivo e .
e) , onde é positivo e .
f) , onde é positivo e .
Propriedades interessantes: onde e são funções escalares.
Um disco de raio tem uma distribuição superficial de cargas onde é uma constante e é distância ao centro do disco. a) Determine a expressão para o potencial elétrico no eixo que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano. Esboce o gráfico de ao longo do eixo z. b) A partir do potencial, calcule o campo elétrico ao longo desse eixo. c) Uma partícula puntiforme de carga é colocada parada no ponto . Calcule a velocidade desta partícula quando ela estiver muito longe do disco.
Um próton, um deutério (um hidrogênio contendo no seu núcleo um próton e um nêutron), e uma partícula (núcleo de hélio consistindo de dois prótons e dois nêutrons) inicialmente em repouso são acelerados durante o mesmo intervalo de tempo em um campo elétrico uniforme criado por uma placa carregada muito grande. Para cada partícula, compare:
a) Suas respectivas energias cinéticas.
b) O valor absoluto de seus momentos.
c) Suas velocidades em módulo.
d) As distâncias percorridas.
e) Como se comparam as variações na energia potencial elétrica?