Considere uma distribuição de partículas carregadas com simetria esférica. O módulo da carga para a distribuição é e o raio da distribuição é . O potencial eletrostático varia com a distância radial do centro da distribuição, dado por:
a) Qual é o campo elétrico nessas três regiões? Utilize V(infty)=0 nos cálculos.
b) Descreva um conjunto de objetos que pode produzir um potencial eletrostático que se comporta dessa maneira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma distribuição de partículas carregadas com simetria esférica. A carga total é e o raio dessa distribuição é . O potencial eletrostático depende da distância radial do centro e é definido em três regiões diferentes:
Vamos precisar entender como relacionar o potencial eletrostático com o campo elétrico para encontrar o campo em cada uma dessas regiões. Para isso, usaremos a relação entre o campo elétrico e o potencial, além de considerar as condições de simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, lembremos que o campo elétrico E(r) = -nabla V(r) está relacionado ao potencial eletrostático E(r) = -dV(r)dr pela seguinte relação:
Como estamos lidando com simetria esférica, o gradiente em coordenadas esféricas simplifica para:
Então, para encontrar o campo elétrico em cada região, precisamos derivar o potencial em relação a .
Passo 3
Vamos derivar V(r) = -q4 pi varepsilon0 r para cada uma das três regiões:
Para E(r) = -ddr(-q4 pi varepsilon0 r) = q4 pi varepsilon0 r^2 :
V(r) = -q8 pi varepsilon0 r
Derivando em relação a E(r) = -ddr(-q8 pi varepsilon0 r) = q8 pi varepsilon0 r^2 :
V(r) = -3 q4 pi varepsilon0 r + 5 q8 pi varepsilon0 R
Para E(r) = -ddr(-3 q4 pi varepsilon0 r + 5 q8 pi varepsilon0 R) = 3 q4 pi varepsilon0 r^2 :
Derivando em relação a :
Para :
Derivando em relação a :
Resposta
O campo elétrico E(r) = q4 pi varepsilon0 r^2, & para r > 2R q8 pi varepsilon0 r^2, & para R < r < 2R 3 q4 pi varepsilon0 r^2, & para r < R nas três regiões é dado por: