Um próton, um deutério (um hidrogênio contendo no seu núcleo um próton e um nêutron), e uma partícula alpha (núcleo de hélio consistindo de dois prótons e dois nêutrons) inicialmente em repouso são acelerados durante o mesmo intervalo de tempo em um campo elétrico uniforme criado por uma placa carregada muito grande. Para cada partícula, compare:
a) Suas respectivas energias cinéticas.
b) O valor absoluto de seus momentos.
c) Suas velocidades em módulo.
d) As distâncias percorridas.
e) Como se comparam as variações na energia potencial elétrica?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três partículas: um próton, um deutério e uma partícula alpha. Todas estão inicialmente em repouso e são aceleradas por um campo elétrico uniforme. O conteúdo principal aqui envolve conceitos de Eletrostática e Movimento Uniformemente Variado. Para resolver, vamos precisar entender as fórmulas de força elétrica, aceleração, energia cinética, momento, velocidade, distância percorrida e variação da energia potencial elétrica.

Passo 2

a) Comparando as energias cinéticas
Primeiro, vamos lembrar que a força elétrica F que atua em uma partícula carregada no campo elétrico E é dada por:
F = qE
Onde q é a carga da partícula.
Como todas as partículas são aceleradas pelo mesmo tempo t, a aceleração a de cada partícula é:
a = Fm = qEm
A energia cinética K adquirida por cada partícula quando ela atinge a velocidade v é:
K = 12mv^2
Substituindo v = a t:
K = 12m(qEmt)^2 = q^2E^2t^22m
Então, a energia cinética depende de q^2/m. Agora vamos comparar para cada partícula:
  • Próton: q = e, m = mp
  • Deutério: q = e, m = 2mp
  • Partícula alpha: q = 2e, m = 4mp
Calculando q^2/m:
  • Próton: e^2/mp
  • Deutério: e^2/(2mp)
  • Partícula alpha: (2e)^2/(4mp) = 4e^2/(4mp) = e^2/mp
Então, as energias cinéticas são:
  • Próton: e^2/mp
  • Deutério: e^2/(2mp)
  • Partícula alpha: e^2/mp
Conclusão: O próton e a partícula alpha têm a mesma energia cinética, enquanto o deutério tem metade da energia cinética dos outros dois.

Passo 3

b) Comparando o valor absoluto dos momentos
O momento linear p de uma partícula é dado por:
p = mv
Usando v = a t = qEmt, temos:
p = m cdot qEmt = qEt
Então, o momento depende diretamente da carga q.
Vamos calcular para cada partícula:
  • Próton: p = eE t
  • Deutério: p = eE t
  • Partícula alpha: p = 2eE t
Conclusão: A partícula alpha tem o dobro do momento das outras duas partículas, que têm o mesmo momento.

Passo 4

c) Comparando as velocidades em módulo
A velocidade v é dada por:
v = qEmt
Vamos calcular para cada partícula:
  • Próton: v = eEmpt
  • Deutério: v = eE2mpt
  • Partícula alpha: v = 2eE4mpt = eE2mpt
Conclusão: O próton tem o dobro da velocidade do deutério e da partícula alpha, que têm a mesma velocidade.

Passo 5

d) Comparando as distâncias percorridas
A distância s percorrida por cada partícula é dada por:
s = 12at^2 = 12(qEm)t^2
Substituindo a:
s = qE t^22m
Calculando para cada partícula:
  • Próton: s = eE t^22mp
  • Deutério: s = eE t^24mp
  • Partícula alpha: s = 2eE t^28mp = eE t^24mp
Conclusão: O próton percorre o dobro da distância que o deutério e a partícula alpha percorrem, que se deslocam a mesma distância.

Passo 6

e) Comparando as variações na energia potencial elétrica
A variação da energia potencial elétrica De quando uma partícula se move na direção do campo elétrico é:
De
Substituindo s:
De
Vamos calcular o valor absoluto:
|De
Isso é basicamente igual à energia cinética que calculamos no passo 2.
Conclusão: A variação na energia potencial elétrica é proporcional à energia cinética de cada partícula. Assim, o próton e a partícula alpha têm a mesma variação de energia potencial elétrica, enquanto o deutério tem metade dessa variação.

Resposta

a) O próton e a partícula alpha têm a mesma energia cinética, enquanto o deutério possui metade dessa energia.
b) A partícula alpha tem o dobro do momento comparado ao próton e ao deutério, que possuem o mesmo valor de momento.
c) O próton move-se com o dobro da velocidade do deutério e da partícula alpha, que se deslocam à mesma velocidade.
d) O próton percorre o dobro da distância que o deutério e a partícula alpha percorrem, sendo que estes últimos se deslocam a mesma distância.
e) A variação na energia potencial elétrica do próton e da partícula alpha é igual, sendo o do deutério a metade dessas variações.

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