Um disco de raio R tem uma distribuição superficial de cargas sigma=alpha R / r onde alpha é uma constante e r é distância ao centro do disco. a) Determine a expressão para o potencial elétrico no eixo z que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano. Esboce o gráfico de V(z) ao longo do eixo z. b) A partir do potencial, calcule o campo elétrico ao longo desse eixo. c) Uma partícula puntiforme de carga +q é colocada parada no ponto (0,0,a). Calcule a velocidade desta partícula quando ela estiver muito longe do disco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de eletrostática, especificamente sobre como calcular o potencial elétrico e o campo elétrico gerados por um disco carregado com uma distribuição superficial de carga. Vamos precisar usar conceitos de potencial elétrico, campo elétrico e leis de Coulomb aplicadas a distribuições contínuas de carga. Além disso, vamos precisar integrar para encontrar essas quantidades ao longo do eixo .

Passo 2

Parte a: Determinar a expressão para o potencial elétrico no eixo sigma = alpha Rr
Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. Temos um disco de raio V(z) = 14pivarepsilon0 integral sigmaraizr^2 + z^2 , dA com uma densidade superficial de carga dada por:
V(z) = 14pivarepsilon0 integral0^R alpha Rr cdot 2pi rraizr^2 + z^2 , dr
onde V(z) = alpha R2varepsilon0 integral0^R 1raizr^2 + z^2 , dr é uma constante e integral 1raizr^2 + z^2 , dr = ln(r + raizr^2 + z^2) + C é a distância ao centro do disco.
Para encontrar o potencial elétrico V(z) = alpha R2varepsilon0 [ ln(R + raizR^2 + z^2) - ln(z) ] no eixo V(z) = alpha R2varepsilon0 ln(R + raizR^2 + z^2z) , usamos a fórmula do potencial para uma distribuição de carga superficial:
onde é o elemento de área do disco.
Em coordenadas polares, , então a integral fica:
Simplificando:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando usando logaritmos:
Esboço do gráfico de ao longo do eixo :
O potencial diminui à medida que aumenta, aproximando-se de zero quando fica muito grande em relação a .

Passo 3

Parte b: Calcular o campo elétrico ao longo do eixo Ez = -dVdz a partir do potencial
Sabemos que o campo elétrico V(z) = alpha R2varepsilon0 ln(R + raizR^2 + z^2z) está relacionado ao potencial dVdz = alpha R2varepsilon0 ( zraizR^2 + z^2R + raizR^2 + z^2 - 1z ) pela relação:
Ez = -alpha R2varepsilon0 ( z(R + raizR^2 + z^2)raizR^2 + z^2 - 1z )
Vamos derivar a expressão de em relação a :
Derivando:
Simplificando:
Podemos simplificar mais, mas essa é a expressão do campo elétrico ao longo do eixo .

Passo 4

Parte c: Calcular a velocidade da partícula de carga U = qV(a) quando estiver muito longe do disco
Quando a partícula K = 12mv^2 está no ponto qV(a) = 12mv^2 , a energia potencial elétrica é convertida em energia cinética à medida que ela se afasta para o infinito.
A energia potencial elétrica no ponto v = raiz2qV(a)m é:
v = raiz2qm cdot alpha R2varepsilon0 ln(R + raizR^2 + a^2a) = raizqalpha Rmvarepsilon0 ln(R + raizR^2 + a^2a)
A energia cinética quando estiver muito longe é:
Igualando as energias (conservação de energia):
Resolvendo para :
Substituindo da parte a):

Resposta

A velocidade da partícula de carga v = raizqalpha Rmvarepsilon0 ln(R + raizR^2 + a^2a) quando estiver muito longe do disco é:

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