Um disco de raio tem uma distribuição superficial de cargas onde é uma constante e é distância ao centro do disco. a) Determine a expressão para o potencial elétrico no eixo que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano. Esboce o gráfico de ao longo do eixo z. b) A partir do potencial, calcule o campo elétrico ao longo desse eixo. c) Uma partícula puntiforme de carga é colocada parada no ponto . Calcule a velocidade desta partícula quando ela estiver muito longe do disco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de eletrostática, especificamente sobre como calcular o potencial elétrico e o campo elétrico gerados por um disco carregado com uma distribuição superficial de carga. Vamos precisar usar conceitos de potencial elétrico, campo elétrico e leis de Coulomb aplicadas a distribuições contínuas de carga. Além disso, vamos precisar integrar para encontrar essas quantidades ao longo do eixo .
Passo 2
Parte a: Determinar a expressão para o potencial elétrico no eixo
Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. Temos um disco de raio com uma densidade superficial de carga dada por:
onde é uma constante e é a distância ao centro do disco.
Para encontrar o potencial elétrico no eixo , usamos a fórmula do potencial para uma distribuição de carga superficial:
onde é o elemento de área do disco.
Em coordenadas polares, , então a integral fica:
Simplificando:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando usando logaritmos:
Esboço do gráfico de ao longo do eixo :
O potencial diminui à medida que aumenta, aproximando-se de zero quando fica muito grande em relação a .
Passo 3
Parte b: Calcular o campo elétrico ao longo do eixo a partir do potencial
Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial pela relação:
Vamos derivar a expressão de em relação a :
Derivando:
Simplificando:
Podemos simplificar mais, mas essa é a expressão do campo elétrico ao longo do eixo .
Passo 4
Parte c: Calcular a velocidade da partícula de carga quando estiver muito longe do disco
Quando a partícula está no ponto , a energia potencial elétrica é convertida em energia cinética à medida que ela se afasta para o infinito.
A energia potencial elétrica no ponto é:
A energia cinética quando estiver muito longe é:
Igualando as energias (conservação de energia):
Resolvendo para :
Substituindo da parte a):
Resposta
A velocidade da partícula de carga quando estiver muito longe do disco é: