Um disco de raio tem uma distribuição superficial de cargas onde é uma constante e é distância ao centro do disco. a) Determine a expressão para o potencial elétrico no eixo que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano. Esboce o gráfico de ao longo do eixo z. b) A partir do potencial, calcule o campo elétrico ao longo desse eixo. c) Uma partícula puntiforme de carga é colocada parada no ponto . Calcule a velocidade desta partícula quando ela estiver muito longe do disco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de eletrostática, especificamente sobre como calcular o potencial elétrico e o campo elétrico gerados por um disco carregado com uma distribuição superficial de carga. Vamos precisar usar conceitos de potencial elétrico, campo elétrico e leis de Coulomb aplicadas a distribuições contínuas de carga. Além disso, vamos precisar integrar para encontrar essas quantidades ao longo do eixo .

Passo 2

Parte a: Determinar a expressão para o potencial elétrico no eixo
Primeiro, vamos entender a distribuição de carga. Temos um disco de raio com uma densidade superficial de carga dada por:
onde é uma constante e é a distância ao centro do disco.
Para encontrar o potencial elétrico no eixo , usamos a fórmula do potencial para uma distribuição de carga superficial:
onde é o elemento de área do disco.
Em coordenadas polares, , então a integral fica:
Simplificando:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando usando logaritmos:
Esboço do gráfico de ao longo do eixo :
O potencial diminui à medida que aumenta, aproximando-se de zero quando fica muito grande em relação a .

Passo 3

Parte b: Calcular o campo elétrico ao longo do eixo a partir do potencial
Sabemos que o campo elétrico está relacionado ao potencial pela relação:
Vamos derivar a expressão de em relação a :
Derivando:
Simplificando:
Podemos simplificar mais, mas essa é a expressão do campo elétrico ao longo do eixo .

Passo 4

Parte c: Calcular a velocidade da partícula de carga quando estiver muito longe do disco
Quando a partícula está no ponto , a energia potencial elétrica é convertida em energia cinética à medida que ela se afasta para o infinito.
A energia potencial elétrica no ponto é:
A energia cinética quando estiver muito longe é:
Igualando as energias (conservação de energia):
Resolvendo para :
Substituindo da parte a):

Resposta

A velocidade da partícula de carga quando estiver muito longe do disco é:

Exercícios relacionados

Considere uma distribuição de partículas carregadas com simetria esférica. O módulo da carga para a distribuição é e o raio da distribuição é . O potencial eletrostático varia com a distância radial do centro da distribuição, dado por:
a) Qual é o campo elétrico nessas três regiões? Utilize nos cálculos.
b) Descreva um conjunto de objetos que pode produzir um potencial eletrostático que se comporta dessa maneira.
Duas placas condutoras paralelas possuem cargas iguais e opostas em sinal. As placas são grandes comparadas com a distância entre elas. A diferença de potencial entre elas é de e a separação entre elas é de 2 cm.
a) Qual é o valor numérico da densidade superficial de carga nas placas?
b) Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico em um elétron se ele se move da placa negativa para a placa positiva?
c) Qual é o trabalho realizado por um agente externo para retornar o elétron da placa positiva para a placa negativa?
Um próton, um deutério (um hidrogênio contendo no seu núcleo um próton e um nêutron), e uma partícula (núcleo de hélio consistindo de dois prótons e dois nêutrons) inicialmente em repouso são acelerados durante o mesmo intervalo de tempo em um campo elétrico uniforme criado por uma placa carregada muito grande. Para cada partícula, compare:
a) Suas respectivas energias cinéticas.
b) O valor absoluto de seus momentos.
c) Suas velocidades em módulo.
d) As distâncias percorridas.
e) Como se comparam as variações na energia potencial elétrica?
Considere uma fio fino e infinito, uniformemente carregado e que gera um campo elétrico de módulo igual a , num ponto situado a uma distância de deste fio. Calcule a densidade linear, , de cargas desse fio.