Considere a divisão do polinômio A(x) = x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 7x + 6 por B(x) = x - 2 igual a Q(x).
Qual é a soma dos quadrados das raízes de Q(x) ?
a) 1
b) 4
c) 10
d) 11

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para dividirmos o polinômio por e encontrar o quociente . Depois, temos que descobrir a soma dos quadrados das raízes de . Vamos precisar conhecer divisão de polinômios e as relações entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir por . Para isso, podemos usar a divisão sintética, que é uma maneira rápida de dividir polinômios quando o divisor é da forma .
Colocamos (porque ) e escrevemos os coeficientes de :
O último número é o resto, que deu zero, confirmando que divide perfeitamente. Então, o quociente é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a soma dos quadrados das raízes de . Vamos chamar as raízes de e . A soma dos quadrados das raízes é dada por:
Para encontrar e , usamos as relações de Vieta para um polinômio de terceiro grau :
No nosso caso, , então e . Aplicando as relações:
Agora, substituímos na fórmula da soma dos quadrados:

Resposta

A soma dos quadrados das raízes de é 11.
Alternativa correta: d) 11

Exercícios relacionados