Considere a divisão do polinômio
por
igual a
.
Qual é a soma dos quadrados das raízes de
?
a) 1
b) 4
c) 10
d) 11
Qual é a soma dos quadrados das raízes de
a) 1
b) 4
c) 10
d) 11
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para dividirmos o polinômio
por
e encontrar o quociente
. Depois, temos que descobrir a soma dos quadrados das raízes de
. Vamos precisar conhecer divisão de polinômios e as relações entre as raízes de um polinômio e seus coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir
por
. Para isso, podemos usar a divisão sintética, que é uma maneira rápida de dividir polinômios quando o divisor é da forma
.
Colocamos
(porque
) e escrevemos os coeficientes de
:
O último número é o resto, que deu zero, confirmando que
divide
perfeitamente. Então, o quociente
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a soma dos quadrados das raízes de
. Vamos chamar as raízes de
e
. A soma dos quadrados das raízes é dada por:
Para encontrar
e
, usamos as relações de Vieta para um polinômio de terceiro grau
:
No nosso caso,
, então
e
. Aplicando as relações:
Agora, substituímos na fórmula da soma dos quadrados:
Resposta
A soma dos quadrados das raízes de
é 11.
Alternativa correta: d) 11