A geratriz de um cone reto mede 24 cm . Sabe-se que a superfície lateral planificada desse cone é um setor circular de
.
O volume do cone é
a)
b)
c)
d)
O volume do cone é
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos um cone reto com uma geratriz de 24 cm e sabemos que sua superfície lateral, quando aberta, forma um setor circular de 210°. Para resolver este exercício, vamos utilizar conceitos de geometria relacionados a cones e setores circulares, além das fórmulas de volume de um cone. Precisamos entender como a superfície lateral do cone se relaciona com o setor circular e aplicar as fórmulas apropriadas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o setor circular e a superfície lateral do cone. Quando a superfície lateral de um cone é “aberta”, ela forma um setor de círculo. A geratriz do cone (24 cm) será o raio desse setor.
Passo 3
Sabemos que o ângulo central do setor é de 210°. O comprimento da circunferência completa desse setor seria
, onde
é o raio do setor, que nesse caso é a geratriz do cone, 24 cm. Porém, como o setor é apenas 210° de um círculo completo (360°), o comprimento da base do cone será:
Passo 4
Calculando o comprimento da base:
Passo 5
Agora, o comprimento da base do cone é a circunferência do círculo na base do cone, que é dada por
, onde
é o raio da base do cone. Então:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Com o raio da base do cone encontrado, vamos calcular a altura do cone. Sabemos que a geratriz (
) forma um triângulo retângulo com o raio da base (
) e a altura (
) do cone. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o volume do cone usando a fórmula:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A alternativa correta é a letra a)
.