A geratriz de um cone reto mede 24 cm . Sabe-se que a superfície lateral planificada desse cone é um setor circular de 210 graus.
O volume do cone é
a) 392 * raiz(95) * pi / 3 cm^3
b) 49 * raiz(95) * pi / 3 cm^3
c) 98 * raiz(95) * pi / 3 cm^3
d) 196 * raiz(95) * pi / 3 cm^3

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos um cone reto com uma geratriz de 24 cm e sabemos que sua superfície lateral, quando aberta, forma um setor circular de 210°. Para resolver este exercício, vamos utilizar conceitos de geometria relacionados a cones e setores circulares, além das fórmulas de volume de um cone. Precisamos entender como a superfície lateral do cone se relaciona com o setor circular e aplicar as fórmulas apropriadas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o setor circular e a superfície lateral do cone. Quando a superfície lateral de um cone é “aberta”, ela forma um setor de círculo. A geratriz do cone (24 cm) será o raio desse setor.

Passo 3

Sabemos que o ângulo central do setor é de 210°. O comprimento da circunferência completa desse setor seria , onde é o raio do setor, que nesse caso é a geratriz do cone, 24 cm. Porém, como o setor é apenas 210° de um círculo completo (360°), o comprimento da base do cone será:

Passo 4

Calculando o comprimento da base:

Passo 5

Agora, o comprimento da base do cone é a circunferência do círculo na base do cone, que é dada por , onde é o raio da base do cone. Então:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Com o raio da base do cone encontrado, vamos calcular a altura do cone. Sabemos que a geratriz ( ) forma um triângulo retângulo com o raio da base ( ) e a altura ( ) do cone. Aplicando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo os valores:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o volume do cone usando a fórmula:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A alternativa correta é a letra a) .

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