Dado que A = (raiz(2) * cos((pi/4) + x) * (1 + cot(x))) / csc(x), x ≠ k * pi.
Qual valor abaixo é a simplificação de A?
a) sen(2 x)
b) cos(2 x)
c) sec(2x)
d) csc(2x)

Passo 1

Então, pessoal, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma expressão trigonométrica:
Nosso objetivo aqui é simplificar essa expressão para encontrar qual das opções a), b), c) ou d) corresponde a A simplificado. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas, como a fórmula da soma de ângulos e definições de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e são funções trigonométricas relacionadas a e . Sabemos que:
Isso nos ajudará a simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos simplificar a parte usando a definição de :
Então, substituindo na expressão original:

Passo 4

Agora, simplificamos a divisão por :
No entanto, há um erro aqui. Vamos corrigir:
Na verdade, quando dividimos por , é o mesmo que multiplicar por . Então:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da soma dos ângulos para :
Substituindo de volta na expressão de A:

Passo 6

Vamos simplificar multiplicando pelos termos dentro dos parênteses:

Passo 7

Agora, aplicamos a identidade :
Essa é uma identidade trigonométrica conhecida como .

Passo 8

Portanto, a simplificação de A é:

Resposta

A opção correta é:
b)

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