Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio ra e densidade de carga superficial sigma1. O cilindro mais externo tem raio rb ( com rb>ra ) e densidade de carga superficial sigma2. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio r em cada uma das seguintes condições: a) r,

Passo 1

Neste exercício, temos dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno possui raio e densidade de carga superficial . O cilindro mais externo tem raio (com ) e densidade de carga superficial . Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico para um ponto localizado a uma distância do eixo dos cilindros, onde . Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss juntamente com a simetria cilíndrica do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que a quantidade total de fluxo elétrico passando por uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 . Matematicamente, isso é expresso como:
Onde:
  • é o campo elétrico.
  • é um elemento de área da superfície gaussiana.
  • é a carga total dentro da superfície gaussiana.
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Devido à simetria cilíndrica dos cilindros, escolhemos nossa superfície gaussiana também como um cilindro concêntrico com raio e comprimento . Essa escolha simplifica os cálculos porque o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será perpendicular a ela.

Passo 4

Agora, precisamos determinar a carga total contida dentro da superfície gaussiana. Como estamos considerando , estamos examinando uma região que está dentro do cilindro interno. Em um condutor em equilíbrio eletrostático, todas as cargas estão na superfície. Portanto, dentro do cilindro interno (ou seja, para ), não há carga elétrica.

Passo 5

Substituindo oint E cdot dA = 0varepsilon0 implies oint E cdot dA = 0 na Lei de Gauss, temos:
E cdot 2pi r L = 0 implies E = 0
Como a superfície gaussiana tem área e é constante nessa superfície, podemos simplificar:

Resposta

Para , o campo elétrico é nulo, ou seja, .

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