Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio
e densidade de carga superficial
. O cilindro mais externo tem raio
( com
) e densidade de carga superficial
. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio
em cada uma das seguintes condições: a)
,
Passo 1
Neste exercício, temos dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno possui raio
e densidade de carga superficial
. O cilindro mais externo tem raio
(com
) e densidade de carga superficial
. Nosso objetivo é encontrar o campo elétrico
para um ponto localizado a uma distância
do eixo dos cilindros, onde
. Para resolver isso, vamos utilizar a Lei de Gauss juntamente com a simetria cilíndrica do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que a quantidade total de fluxo elétrico passando por uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
. Matematicamente, isso é expresso como:
Onde:
-
é o campo elétrico. -
é um elemento de área da superfície gaussiana. -
é a carga total dentro da superfície gaussiana. -
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Devido à simetria cilíndrica dos cilindros, escolhemos nossa superfície gaussiana também como um cilindro concêntrico com raio
e comprimento
. Essa escolha simplifica os cálculos porque o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será perpendicular a ela.
Passo 4
Agora, precisamos determinar a carga total
contida dentro da superfície gaussiana. Como estamos considerando
, estamos examinando uma região que está dentro do cilindro interno. Em um condutor em equilíbrio eletrostático, todas as cargas estão na superfície. Portanto, dentro do cilindro interno (ou seja, para
), não há carga elétrica.
Passo 5
Substituindo
na Lei de Gauss, temos:
Como a superfície gaussiana tem área
e
é constante nessa superfície, podemos simplificar:
Resposta
Para
, o campo elétrico
é nulo, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Uma carga de
está localizada na origem, e uma segunda carga
está localizada no plano
no ponto de coordenadas (
). Determine a força elétrica exercida pela carga
. Encontre tanto o módulo desta força quanto seu sentido (ângulo em relação ao eixo positivo de
ou as componentes
e
da força).
Dois blocos de massa
e
estão ligados por uma corda, de massa desprezível, que passa por uma roldana de raio
. O bloco de massa
sobe o plano inclinado de ângulo
com aceleração constante a. b ) o vetor torque sobre a polia
Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio
e densidade de carga superficial
. O cilindro mais externo tem raio
( com
) e densidade de carga superficial
. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio
em cada uma das seguintes condições: b)
Considere dois cilindros condutores concêntricos muito longos. O cilindro mais interno tem raio
e densidade de carga superficial
. O cilindro mais externo tem raio
( com
) e densidade de carga superficial
. Utilizando a lei de Gauss, e a simetria do problema, encontre o campo elétrico para um raio
em cada uma das seguintes condições: c)
.