Considere dois elétrons em um ponto quântico esférico com auto-funções espaciais Rn(r) Yl^m(theta, phi), onde Yl^m(theta, phi) são os polinômios Harmônicos Esféricos. Assinale a alternativa que apresenta uma possível função de onda para o sistema de dois elétrons, onde as setas para cima e para baixo representam, respectivamente, os autoestados de spin positivo e negativo na direção z:
b) psi(r1, r2)=A[R5(r1) Y4^2(theta1, phi1) R4(r2) Y4^2(theta2, phi2)+R5(r2) Y4^2(theta2, phi2) R4(r1) Y4^2(theta1, phi1)](|uparrow downarrowrang<=-|downarrow uparrowrang<=)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois elétrons confinados em um ponto quântico esférico, e queremos determinar qual das alternativas apresentadas representa uma possível função de onda para esse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções de onda dos elétrons são construídas, considerando suas partes espaciais e de spin. Usaremos conceitos de funções de onda simétricas e antissimétricas, já que elétrons são férmions e obedecem o princípio de exclusão de Pauli.

Passo 2

Sabemos que a função de onda total de um sistema de dois elétrons deve ser antissimétrica em relação à troca dos elétrons, pois elétrons são partículas de spin 1/2 (férmions). Isso significa que, se trocarmos os elétrons 1 e 2, a função de onda deve mudar de sinal:
psi(r1, r2) = -psi(r2, r1)

Passo 3

A função de onda total é produto da parte espacial e da parte de spin. Para que a função total seja antissimétrica, se a parte espacial for simétrica, a parte de spin deve ser antissimétrica, e vice-versa.

Passo 4

Vamos analisar a parte espacial da função de onda dada na alternativa:
R5(r1) Y4^2(theta1, phi1) R4(r2) Y4^2(theta2, phi2) + R5(r2) Y4^2(theta2, phi2) R4(r1) Y4^2(theta1, phi1)
Essa expressão é simétrica em relação à troca dos elétrons 1 e 2, pois trocar $ r_1 \leftrightarrow r_2 $ não muda a forma da expressão.

Passo 5

Como a parte espacial é simétrica, a parte de spin deve ser antissimétrica para garantir que a função total seja antissimétrica. A parte de spin dada é:
|uparrow downarrowrang<= - |downarrow uparrowrang<=
Essa combinação é antissimétrica em relação à troca dos spins dos elétrons, pois trocar $ \uparrow \leftrightarrow \downarrow $ inverte o sinal da expressão.

Passo 6

Juntando a parte espacial simétrica com a parte de spin antissimétrica, obtemos uma função de onda total que é antissimétrica, conforme exigido para elétrons. Portanto, a alternativa apresentada está corretamente construída.

Resposta

A função de onda apresentada na alternativa b) satisfaz os requisitos de simetria e antissimetria necessários para dois elétrons, tornando-a uma possível função de onda para o sistema.

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