Considere dois planos dados pelas equações
e
.
Determine a interseção entre os planos.
Determine a interseção entre os planos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá duas equações de planos no espaço tridimensional:
- Plano
- Plano
Nosso objetivo é encontrar a interseção entre esses dois planos. Isso significa descobrir quais pontos pertencem simultaneamente aos dois planos.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre planos no espaço tridimensional e como resolver sistemas de equações para encontrar a interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada plano:
-
Plano
: A equação descreve todos os pontos onde a coordenada é sempre 1, independente dos valores de e . Isso significa que é um plano paralelo ao eixo . -
Plano
: A equação descreve todos os pontos onde a coordenada é sempre 1, independente dos valores de e . Isso é um plano paralelo ao eixo .
Passo 3
Para encontrar a interseção, precisamos encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Ou seja, queremos encontrar todos os pontos
que atendem:
Passo 4
Como temos
e
, isso significa que, na interseção, essas coordenadas estão fixas. A única variável que pode variar é
.
Então, podemos escrever a solução geral como:
onde
pode ser qualquer número real.
Passo 5
Isso descreve uma reta no espaço tridimensional. Mais especificamente, é a reta onde o plano
e o plano
se cruzam.
Resposta
A interseção entre os planos
e
é a reta formada por todos os pontos
, onde
pode ser qualquer número real. Em outras palavras: