Sejam r:=(x,y,z)= (0,0,1)+(t, t^2, t^2) e pi: 2x+2y=1.
(a) Determine a posição relativa entre a reta e o plano.
(b) Determine a distância entre a reta r e o plano pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida por e um plano dado pela equação . O que precisamos fazer é:
a) Descobrir como a reta e o plano se relacionam, ou seja, se a reta está parada no plano, se ela cruza o plano ou se está paralela a ele.
b) Calcular a distância entre a reta e o plano .
Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar entendendo a posição relativa entre a reta e o plano.
Primeiro, lembrando que para ver se a reta está no plano, intersecta o plano ou é paralela, a gente pode substituir os parâmetros da reta na equação do plano e ver o que acontece.
A reta é parametrizada por:
(x, y, z) = (0,0,1) + t(1, t, t)
Isso significa que:
x = t, y = t^2, z = 1 + t^2
O plano tem a equação:
2x + 2y = 1
Vamos substituir 2(t) + 2(t^2) = 1 2t + 2t^2 = 1 2t^2 + 2t - 1 = 0 e da reta na equação do plano para ver se existe algum valor de que satisfaça a equação.
Substituindo:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar .

Passo 3

A equação é t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Usando a fórmula de Bhaskara:
De
onde , , e .
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é positivo ( ), isso significa que a equação tem duas soluções reais distintas. Portanto, a reta intercepta o plano em dois pontos diferentes.

Passo 4

Como a reta intercepta o plano, eles se cortam em dois pontos. Isso significa que a reta está contida no plano apenas nos pontos de interseção e não é paralela ao plano.

Passo 5

Agora vamos calcular a distância entre a reta D = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 e o plano D = |2 cdot 0 + 2 cdot 0 + 0 cdot 1 -1|raiz2^2 + 2^2 + 0^2 = | -1 |raiz4 + 4 = 1raiz8 = 12raiz2 approx 0,3535 . Entretanto, já vimos que a reta intercepta o plano, então a distância mínima é zero. Mas vamos verificar isso de outra maneira.
A distância de um ponto a um plano é dada por:
No nosso caso, o plano é , que podemos reescrever como . Então, , , , e .
Podemos escolher um ponto qualquer na reta . Vamos usar o ponto inicial .
Substituindo na fórmula:
No entanto, como a reta intercepta o plano, essa distância mínima é atingida no ponto de interseção, que, neste caso, é zero.

Resposta

b) A distância entre a reta e o plano é zero, já que a reta intersecta o plano.

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