Sejam
e
.
(a) Determine a posição relativa entre a reta e o plano.
(b) Determine a distância entre a reta
e o plano
.
(a) Determine a posição relativa entre a reta e o plano.
(b) Determine a distância entre a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta definida por
e um plano dado pela equação
. O que precisamos fazer é:
a) Descobrir como a reta e o plano se relacionam, ou seja, se a reta está parada no plano, se ela cruza o plano ou se está paralela a ele.
b) Calcular a distância entre a reta
e o plano
.
Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar entendendo a posição relativa entre a reta e o plano.
Primeiro, lembrando que para ver se a reta está no plano, intersecta o plano ou é paralela, a gente pode substituir os parâmetros da reta na equação do plano e ver o que acontece.
A reta é parametrizada por:
Isso significa que:
O plano tem a equação:
Vamos substituir
e
da reta na equação do plano para ver se existe algum valor de
que satisfaça a equação.
Substituindo:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar
.
Passo 3
A equação é
. Usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é positivo (
), isso significa que a equação tem duas soluções reais distintas. Portanto, a reta
intercepta o plano
em dois pontos diferentes.
Passo 4
Como a reta intercepta o plano, eles se cortam em dois pontos. Isso significa que a reta está contida no plano apenas nos pontos de interseção e não é paralela ao plano.
Passo 5
Agora vamos calcular a distância entre a reta
e o plano
. Entretanto, já vimos que a reta intercepta o plano, então a distância mínima é zero. Mas vamos verificar isso de outra maneira.
A distância
de um ponto
a um plano
é dada por:
No nosso caso, o plano
é
, que podemos reescrever como
. Então,
,
,
, e
.
Podemos escolher um ponto qualquer na reta
. Vamos usar o ponto inicial
.
Substituindo na fórmula:
No entanto, como a reta intercepta o plano, essa distância mínima é atingida no ponto de interseção, que, neste caso, é zero.
Resposta
b) A distância entre a reta
e o plano
é zero, já que a reta intersecta o plano.