Considere dois planos no , não ortogonais entre si, de equações
e . Considere um paralelograma no plano de vértices . Relacionar a área desse paralelograma com a área da sua projeção ortogonal sobre o plano , fazendo uso do ângulo entre a normal do plano e a normal do plano .
Sugestão: Primeiramente resolva o problema considerando sendo o plano coordenado e depois estenda para um plano genérico.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo dois planos no espaço tridimensional, . Temos dois planos não ortogonais, e , com equações gerais. Nosso objetivo é relacionar a área de um paralelogramo no plano com a área da sua projeção ortogonal sobre o plano . Para isso, vamos usar o conceito de ângulo entre as normais dos planos. Vamos precisar entender como calcular áreas de paralelogramos e como funciona a projeção ortogonal entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um caso mais simples: suponha que o plano seja o plano coordenado , que tem a equação . A normal a esse plano é o vetor . Vamos também identificar a normal ao plano , .

Passo 3

A área de um paralelogramo pode ser calculada pelo produto vetorial de dois vetores que formam seus lados. Sejam e dois vetores no plano que formam o paralelogramo. Então, a área é dada por:

Passo 4

Para encontrar a área da projeção desse paralelogramo no plano , precisamos considerar como os vetores e são projetados sobre . A projeção ortogonal de um vetor sobre é obtida descartando a componente na direção da normal de . No caso do plano , a projeção de é e de é .

Passo 5

A área da projeção é, então, o produto vetorial das projeções dos vetores e :
Note que é igual ao valor absoluto da componente do produto vetorial original .

Passo 6

Observamos que:
onde é o ângulo entre a normal do plano , , e a normal do plano , . No nosso caso, , então:

Passo 7

Dessa forma, a relação entre as áreas é:

Passo 8

Agora, generalizando para um plano qualquer com normal , usamos a mesma lógica. O fator de redução da área devido à projeção é o cosseno do ângulo entre as normais dos dois planos:

Resposta

A área do paralelogramo projetado no plano é dada por:

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