Considere dois planos no R^3, não ortogonais entre si, de equações
alpha: a x + b y + c z + d = 0 e beta: m*x + n*y + p*z + q = 0. Considere um paralelograma no plano alpha de vértices A, B, C e D. Relacionar a área desse paralelograma com a área da sua projeção ortogonal sobre o plano beta, fazendo uso do ângulo entre a normal do plano alpha e a normal do plano beta.
Sugestão: Primeiramente resolva o problema considerando beta sendo o plano coordenado pi_xy e depois estenda para um plano beta genérico.

Passo 1

Vamos resolver um problema de geometria envolvendo dois planos no espaço tridimensional, R^3. Temos dois planos não ortogonais, alpha e beta, com equações gerais. Nosso objetivo é relacionar a área de um paralelogramo no plano alpha com a área da sua projeção ortogonal sobre o plano beta. Para isso, vamos usar o conceito de ângulo entre as normais dos planos. Vamos precisar entender como calcular áreas de paralelogramos e como funciona a projeção ortogonal entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar um caso mais simples: suponha que o plano beta seja o plano coordenado , que tem a equação . A normal a esse plano é o vetor . Vamos também identificar a normal ao plano alpha, .

Passo 3

A área de um paralelogramo pode ser calculada pelo produto vetorial de dois vetores que formam seus lados. Sejam u e v dois vetores no plano alpha que formam o paralelogramo. Então, a área é dada por:

Passo 4

Para encontrar a área da projeção desse paralelogramo no plano beta, precisamos considerar como os vetores u e v são projetados sobre beta. A projeção ortogonal de um vetor sobre beta é obtida descartando a componente na direção da normal de beta. No caso do plano , a projeção de u é e de v é .

Passo 5

A área da projeção é, então, o produto vetorial das projeções dos vetores u e v:
Note que é igual ao valor absoluto da componente z do produto vetorial original u x v.

Passo 6

Observamos que:
onde theta é o ângulo entre a normal do plano alpha, , e a normal do plano beta, . No nosso caso, , então:

Passo 7

Dessa forma, a relação entre as áreas é:

Passo 8

Agora, generalizando para um plano beta qualquer com normal , usamos a mesma lógica. O fator de redução da área devido à projeção é o cosseno do ângulo entre as normais dos dois planos:

Resposta

A área do paralelogramo projetado no plano beta é dada por:

Exercícios relacionados