Considere dois planos no
, não ortogonais entre si, de equações
e
. Considere um paralelograma no plano
de vértices
. Relacionar a área desse paralelograma com a área da sua projeção ortogonal sobre o plano
, fazendo uso do ângulo entre a normal do plano
e a normal do plano
.
Sugestão: Primeiramente resolva o problema considerando
sendo o plano coordenado
e depois estenda para um plano
genérico.
Sugestão: Primeiramente resolva o problema considerando
Passo 1
Vamos resolver um problema de geometria envolvendo dois planos no espaço tridimensional,
. Temos dois planos não ortogonais,
e
, com equações gerais. Nosso objetivo é relacionar a área de um paralelogramo no plano
com a área da sua projeção ortogonal sobre o plano
. Para isso, vamos usar o conceito de ângulo entre as normais dos planos. Vamos precisar entender como calcular áreas de paralelogramos e como funciona a projeção ortogonal entre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um caso mais simples: suponha que o plano
seja o plano coordenado
, que tem a equação
. A normal a esse plano é o vetor
. Vamos também identificar a normal ao plano
,
.
Passo 3
A área de um paralelogramo pode ser calculada pelo produto vetorial de dois vetores que formam seus lados. Sejam
e
dois vetores no plano
que formam o paralelogramo. Então, a área
é dada por:
Passo 4
Para encontrar a área da projeção desse paralelogramo no plano
, precisamos considerar como os vetores
e
são projetados sobre
. A projeção ortogonal de um vetor sobre
é obtida descartando a componente na direção da normal de
. No caso do plano
, a projeção de
é
e de
é
.
Passo 5
A área
da projeção é, então, o produto vetorial das projeções dos vetores
e
:
Note que
é igual ao valor absoluto da componente
do produto vetorial original
.
Passo 6
Observamos que:
onde
é o ângulo entre a normal do plano
,
, e a normal do plano
,
. No nosso caso,
, então:
Passo 7
Dessa forma, a relação entre as áreas é:
Passo 8
Agora, generalizando para um plano
qualquer com normal
, usamos a mesma lógica. O fator de redução da área devido à projeção é o cosseno do ângulo entre as normais dos dois planos:
Resposta
A área do paralelogramo projetado no plano
é dada por:
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.
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.
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.
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