Beleza, vamos lá! O enunciado pede para formular, em coordenadas esféricas, a equação de uma superfície cilíndrica circular reta com raio . Essa superfície tem como eixo de simetria uma reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano equatorial .
Conteúdo da Matéria: Coordenadas Esféricas e Equações de Superfícies.
O que vamos precisar: Saber como converter equações de coordenadas cartesianas para esféricas e entender as propriedades de cilindros em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
: a distância do ponto até a origem.
: o ângulo no plano equatorial (similar ao ângulo polar em coordenadas polares).
: o ângulo entre o raio e o eixo vertical (ou seja, o ângulo de elevação).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
Passo 3
Agora, vamos pensar na equação de um cilindro circular reto no espaço cartesiano. Um cilindro com eixo alinhado ao eixo tem a equação:
Isso significa que, para qualquer altura , a distância do ponto ao eixo é constante e igual a .
Passo 4
Nosso objetivo é expressar essa equação em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de e em termos de , e , temos:
Como , simplificamos para:
Passo 5
Igualando isso à equação do cilindro , temos:
Podemos simplificar essa equação tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A equação da superfície cilíndrica em coordenadas esféricas é: