Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
© A equação de uma superfície cilíndrica circular reta de raio
cujo eixo de simetria é a reta passando por
ortogonalmente ao plano equatorial
.
© A equação de uma superfície cilíndrica circular reta de raio
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para formular, em coordenadas esféricas, a equação de uma superfície cilíndrica circular reta com raio
. Essa superfície tem como eixo de simetria uma reta que passa pela origem
e é perpendicular ao plano equatorial
.
Conteúdo da Matéria: Coordenadas Esféricas e Equações de Superfícies.
O que vamos precisar: Saber como converter equações de coordenadas cartesianas para esféricas e entender as propriedades de cilindros em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo no plano equatorial (similar ao ângulo polar em coordenadas polares). -
: o ângulo entre o raio e o eixo vertical (ou seja, o ângulo de elevação).
As relações entre as coordenadas cartesianas
e esféricas
são:
Passo 3
Agora, vamos pensar na equação de um cilindro circular reto no espaço cartesiano. Um cilindro com eixo alinhado ao eixo
tem a equação:
Isso significa que, para qualquer altura
, a distância do ponto ao eixo
é constante e igual a
.
Passo 4
Nosso objetivo é expressar essa equação em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de
e
em termos de
,
e
, temos:
Como
, simplificamos para:
Passo 5
Igualando isso à equação do cilindro
, temos:
Podemos simplificar essa equação tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A equação da superfície cilíndrica em coordenadas esféricas é: