Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
© A equação de uma superfície cilíndrica circular reta de raio a cujo eixo de simetria é a reta passando por O = (0, 0, 0) ortogonalmente ao plano equatorial pi = { (rho, theta, 0) ; rho, theta in R }.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para formular, em coordenadas esféricas, a equação de uma superfície cilíndrica circular reta com raio . Essa superfície tem como eixo de simetria uma reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano equatorial .
Conteúdo da Matéria: Coordenadas Esféricas e Equações de Superfícies.
O que vamos precisar: Saber como converter equações de coordenadas cartesianas para esféricas e entender as propriedades de cilindros em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo no plano equatorial (similar ao ângulo polar em coordenadas polares).
  • : o ângulo entre o raio e o eixo vertical (ou seja, o ângulo de elevação).
As relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Agora, vamos pensar na equação de um cilindro circular reto no espaço cartesiano. Um cilindro com eixo alinhado ao eixo tem a equação:
Isso significa que, para qualquer altura , a distância do ponto ao eixo é constante e igual a .

Passo 4

Nosso objetivo é expressar essa equação em coordenadas esféricas. Substituindo as expressões de e em termos de , e , temos:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Igualando isso à equação do cilindro , temos:
Podemos simplificar essa equação tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

A equação da superfície cilíndrica em coordenadas esféricas é:

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