Determinar todas as curvas planas de curvatura constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos todas as curvas planas que têm curvatura constante. Isso está dentro do estudo de geometria diferencial, onde a curvatura é uma medida de quão rápido uma curva está mudando de direção. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é curvatura e como ela afeta a forma das curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre curvatura. Em termos simples, a curvatura ( ) de uma curva em um ponto mede quão “curvada” ela está nesse ponto. Matematicamente, para uma curva dada por , a curvatura é calculada por:
Aqui, é a primeira derivada (que nos dá a inclinação da curva) e é a segunda derivada (que nos dá a taxa de variação da inclinação).

Passo 3

Agora, vamos pensar em curvas com curvatura constante, ou seja, é sempre a mesma em todos os pontos da curva. O que isso significa para a forma da curva?
Se , isso implica que , ou seja, a segunda derivada é zero. A solução geral para isso é uma função linear: , que representa uma reta no plano. Portanto, uma reta tem curvatura zero em todos os pontos.
Se , precisamos de uma curva cuja curvatura não muda. A única curvas que satisfazem isso são círculos, porque em um círculo todos os pontos estão à mesma distância do centro, o que significa que a curvatura é constante em qualquer ponto do círculo.

Passo 4

Então, reunindo tudo:
  • Retas têm curvatura constante igual a zero.
  • Círculos têm curvatura constante diferente de zero.
Essas são, portanto, as únicas curvas planas com curvatura constante.

Resposta

Todas as curvas planas de curvatura constante são retas (quando a curvatura é zero) e círculos (quando a curvatura é diferente de zero).

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Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
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Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de radianos para o quadrante e formule o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos, e .
Determine o valor de para que a função
seja contínua na origem.