Determinar todas as curvas planas de curvatura constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos todas as curvas planas que têm curvatura constante. Isso está dentro do estudo de geometria diferencial, onde a curvatura é uma medida de quão rápido uma curva está mudando de direção. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é curvatura e como ela afeta a forma das curvas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre curvatura. Em termos simples, a curvatura (
) de uma curva em um ponto mede quão “curvada” ela está nesse ponto. Matematicamente, para uma curva dada por
, a curvatura é calculada por:
Aqui,
é a primeira derivada (que nos dá a inclinação da curva) e
é a segunda derivada (que nos dá a taxa de variação da inclinação).
Passo 3
Agora, vamos pensar em curvas com curvatura constante, ou seja,
é sempre a mesma em todos os pontos da curva. O que isso significa para a forma da curva?
Se
, isso implica que
, ou seja, a segunda derivada é zero. A solução geral para isso é uma função linear:
, que representa uma reta no plano. Portanto, uma reta tem curvatura zero em todos os pontos.
Se
, precisamos de uma curva cuja curvatura não muda. A única curvas que satisfazem isso são círculos, porque em um círculo todos os pontos estão à mesma distância do centro, o que significa que a curvatura é constante em qualquer ponto do círculo.
Passo 4
Então, reunindo tudo:
- Retas têm curvatura constante igual a zero.
- Círculos têm curvatura constante diferente de zero.
Essas são, portanto, as únicas curvas planas com curvatura constante.
Resposta
Todas as curvas planas de curvatura constante são retas (quando a curvatura é zero) e círculos (quando a curvatura é diferente de zero).
Exercícios relacionados
Considere dois planos no
, não ortogonais entre si, de equações
e
. Considere um paralelograma no plano
de vértices
. Relacionar a área desse paralelograma com a área da sua projeção ortogonal sobre o plano
, fazendo uso do ângulo entre a normal do plano
e a normal do plano
.
Sugestão: Primeiramente resolva o problema considerando sendo o plano coordenado
e depois estenda para um plano
genérico.
Sugestão: Primeiramente resolva o problema considerando
Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
© A equação de uma superfície cilíndrica circular reta de raio cujo eixo de simetria é a reta passando por
ortogonalmente ao plano equatorial
.
© A equação de uma superfície cilíndrica circular reta de raio
Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos, e
.
(a) A distância entre dois pontos,
Determine o valor de
para que a função
seja contínua na origem.