Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos
e
.
(a) A distância entre dois pontos
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois pontos no sistema de coordenadas esféricas,
e
. Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois pontos usando apenas as definições estruturais do sistema esférico. Para isso, vamos precisar converter essas coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas e, em seguida, aplicar a fórmula da distância no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas esféricas para cartesianas. As fórmulas de conversão são:
Essas fórmulas nos permitem transformar qualquer ponto do sistema esférico para o sistema cartesiano.
Passo 3
Vamos converter os pontos
e
para coordenadas cartesianas usando as fórmulas acima.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora que temos as coordenadas cartesianas dos dois pontos, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional:
Vamos substituir os valores de
pelas expressões em termos de
e
.
Passo 5
Substituindo as expressões, temos:
Podemos simplificar essa expressão usando propriedades trigonométricas e algébricas, resultando em:
Resposta
A distância entre os pontos
e
no sistema de coordenadas esféricas é: