Em um sistema de coordenadas esféricas, formular usando apenas a definição estrutural do sistema esférico, o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos P1 = (rho1, theta1, phi1) e P2 = (rho2, theta2, phi2).

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois pontos no sistema de coordenadas esféricas, e . Nosso objetivo é encontrar a distância entre esses dois pontos usando apenas as definições estruturais do sistema esférico. Para isso, vamos precisar converter essas coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas e, em seguida, aplicar a fórmula da distância no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas esféricas para cartesianas. As fórmulas de conversão são:
Essas fórmulas nos permitem transformar qualquer ponto do sistema esférico para o sistema cartesiano.

Passo 3

Vamos converter os pontos e para coordenadas cartesianas usando as fórmulas acima.
Para :
Para :

Passo 4

Agora que temos as coordenadas cartesianas dos dois pontos, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional:
Vamos substituir os valores de pelas expressões em termos de e .

Passo 5

Substituindo as expressões, temos:
Podemos simplificar essa expressão usando propriedades trigonométricas e algébricas, resultando em:

Resposta

A distância entre os pontos e no sistema de coordenadas esféricas é:

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