Considere um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com um ângulo agudo de
radianos para o
quadrante e formule o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos,
e
.
(a) A distância entre dois pontos,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre um sistema de coordenadas cartesianas oblíquas, onde o ângulo entre os eixos é γ radianos no primeiro quadrante. A gente precisa encontrar a fórmula para calcular a distância entre dois pontos,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e trigonometria, considerando a inclinação dos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em um sistema de coordenadas oblíquas, os eixos não são perpendiculares. Isso significa que o ângulo entre o eixo x e o eixo y é γ, e não 90 graus como no sistema cartesiano padrão. Por causa dessa inclinação, a fórmula da distância entre dois pontos muda um pouco.
Passo 3
No sistema cartesiano comum, a distância entre dois pontos é dada pela fórmula:
Mas aqui, como os eixos estão inclinados, precisamos considerar o efeito desse ângulo γ na distância.
Passo 4
Para ajustar a fórmula, usamos a lei dos cossenos, que nos ajuda a encontrar o comprimento de um lado de um triângulo quando conhecemos os outros dois lados e o ângulo entre eles. Aplicando isso aos componentes x e y dos pontos, temos:
Esse termo adicional
ajusta a distância levando em conta o ângulo γ entre os eixos.
Resposta
A distância entre os pontos
e
no sistema de coordenadas cartesianas oblíquas com ângulo γ é: