Considere dois pontos P(2,3,-1) e Q(5,-2,4) em um sistema de coordenadas cartesianas. (a) Determine o vetor posição rP e rQ para cada ponto. (b) Calcule o vetor separação rP Q=rQ-rP que aponta de P para Q. © Encontre a magnitude de rP Q e interprete seu significado no contexto da distância entre os pontos P e Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos no espaço tridimensional: e . A questão está dividida em três partes:
(a) Encontrar os vetores posição para cada ponto.
(b) Calcular o vetor que separa de .
© Descobrir a magnitude desse vetor separação e entender o que isso significa em termos da distância entre e .
Pra resolver tudo isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, como vetor posição, operação de subtração de vetores e cálculo de magnitude (ou comprimento) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor posição. O vetor posição de um ponto em um sistema de coordenadas é o vetor que parte da origem até esse ponto. Para o ponto rP = lang<= 2, 3, -1 rang<= , o vetor posição rQ = lang<= 5, -2, 4 rang<= é:
E para o ponto , o vetor posição é:

Passo 3

Agora, na segunda parte, precisamos encontrar o vetor separação rPQ = rQ - rP = lang<= 5 - 2, -2 - 3, 4 - (-1) rang<= = lang<= 3, -5, 5 rang<= , que aponta de para . Para isso, subtraímos o vetor posição de do vetor posição de :
Então, o vetor separação é .

Passo 4

Por fim, vamos calcular a magnitude do vetor separação |v| = raiza^2 + b^2 + c^2 , que nos dá a distância entre os pontos |rPQ| = raiz3^2 + (-5)^2 + 5^2 = raiz9 + 25 + 25 = raiz59 e . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor :
Portanto, a magnitude é , que representa a distância entre os pontos e .

Resposta

(a) e
(b)
© A magnitude de é , representando a distância entre os pontos e .

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