Considere dois pontos e em um sistema de coordenadas cartesianas. (a) Determine o vetor posição e para cada ponto. (b) Calcule o vetor separação que aponta de para . © Encontre a magnitude de e interprete seu significado no contexto da distância entre os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos no espaço tridimensional: e . A questão está dividida em três partes:
(a) Encontrar os vetores posição para cada ponto.
(b) Calcular o vetor que separa de .
© Descobrir a magnitude desse vetor separação e entender o que isso significa em termos da distância entre e .
Pra resolver tudo isso, vamos usar conceitos de vetores no espaço tridimensional, como vetor posição, operação de subtração de vetores e cálculo de magnitude (ou comprimento) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor posição. O vetor posição de um ponto em um sistema de coordenadas é o vetor que parte da origem até esse ponto. Para o ponto , o vetor posição é:
E para o ponto , o vetor posição é:

Passo 3

Agora, na segunda parte, precisamos encontrar o vetor separação , que aponta de para . Para isso, subtraímos o vetor posição de do vetor posição de :
Então, o vetor separação é .

Passo 4

Por fim, vamos calcular a magnitude do vetor separação , que nos dá a distância entre os pontos e . A magnitude de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso vetor :
Portanto, a magnitude é , que representa a distância entre os pontos e .

Resposta

(a) e
(b)
© A magnitude de é , representando a distância entre os pontos e .

Exercícios relacionados

Dado o vetor , determine:
c - A decomposição de em componentes ortogonais no plano formado pelos eixos e .
Em um sistema tridimensional, três forças atuam em um ponto: e . Calcule:
b - O módulo de .
Considere um vetor cujas componentes no sistema de coordenadas original são e . Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo para um novo sistema . (a) Encontre as expressões para as novas componentes e função das componentes originais e e do ângulo .
Para um vetor expresso em coordenadas polares, considere e . Resolva:
a - Calcule a magnitude do vetor .