Considere um vetor
cujas componentes no sistema de coordenadas original
são
e
. Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo
para um novo sistema
. (a) Encontre as expressões para as novas componentes
e
função das componentes originais
e
e do ângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor
com componentes
e
num sistema de coordenadas original
. Esse sistema é girado num ângulo
, criando um novo sistema
. Nosso objetivo aqui é encontrar as novas componentes do vetor, ou seja,
e
, em função de
,
e do ângulo
. Vamos usar conceitos de rotação de coordenadas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de coordenadas no plano. Quando a gente gira o sistema de coordenadas em um ângulo
, as novas direções
e
estão inclinadas em relação às direções originais
e
. Para encontrar as novas componentes do vetor
nessas direções, usamos as fórmulas de rotação de vetores.
Passo 3
A rotação de um vetor no plano pode ser representada por uma matriz de rotação. Se a gente tem um vetor com componentes
no sistema original, as novas componentes
após uma rotação de
são dadas por:
[
]
Aqui, a matriz de rotação tem elementos que envolvem o cosseno e o seno do ângulo
.
Passo 4
Vamos multiplicar a matriz pelas componentes originais do vetor
:
Essas são as expressões que representam as novas componentes do vetor após a rotação.
Resposta
Portanto, as novas componentes do vetor
no sistema rotacionado são: