Considere um vetor A cujas componentes no sistema de coordenadas original (y, z) são Ay e Az. Esse sistema de coordenadas é rotacionado em um ângulo phi para um novo sistema (y^prime, z^prime). (a) Encontre as expressões para as novas componentes Ay^prime e Az^prime em função das componentes originais Ay e Az e do ângulo phi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um vetor A com componentes Ay e Az num sistema de coordenadas original (y, z). Esse sistema é girado num ângulo phi, criando um novo sistema (y', z'). Nosso objetivo aqui é encontrar as novas componentes do vetor, ou seja, Ay' e Az', em função de Ay, Az e do ângulo phi. Vamos usar conceitos de rotação de coordenadas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de coordenadas no plano. Quando a gente gira o sistema de coordenadas em um ângulo phi, as novas direções y' e z' estão inclinadas em relação às direções originais y e z. Para encontrar as novas componentes do vetor A nessas direções, usamos as fórmulas de rotação de vetores.

Passo 3

A rotação de um vetor no plano pode ser representada por uma matriz de rotação. Se a gente tem um vetor com componentes (Ay, Az) no sistema original, as novas componentes (Ay', Az') após uma rotação de phi são dadas por:

[
Ay' Az' = cosphi & sinphi -sinphi & cosphi Ay Az

phi

]
Aqui, a matriz de rotação tem elementos que envolvem o cosseno e o seno do ângulo .

Passo 4

Vamos multiplicar a matriz pelas componentes originais do vetor A:
Ay' = Ay cosphi + Az sinphi
Az' = -Ay sinphi + Az cosphi
Essas são as expressões que representam as novas componentes do vetor após a rotação.

Resposta

Portanto, as novas componentes do vetor A no sistema rotacionado são:
Ay' = Ay cosphi + Az sinphi
Az' = -Ay sinphi + Az cosphi

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