Considere dois referenciais, um em repouso
e outro girante
. Sendo
e
, com
, a base de
e
, respectivamente. Mostre que a matriz de transformação dos vetores de base é a mesma para a transformação das coordenadas de um vetor arbitrário quando mudamos de um referêncial para o outro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve dois referenciais: um que está parado, chamado
, e outro que está girando, chamado
. As bases desses referenciais são
para
e
para
, onde
. O que a gente precisa fazer é mostrar que a matriz de transformação para os vetores de base é a mesma que a gente usa para transformar as coordenadas de qualquer vetor quando mudamos de um referencial para o outro. Vamos precisar entender de transformação de coordenadas e matrizes de rotação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são vetores de base. Em cada referencial, os vetores
e
são como os “pontos de partida” para construir qualquer vetor nesse espaço. Para transformar um vetor de
para
, a gente precisa saber como os vetores de base de
se relacionam com os de
. Como
está girando em relação a
, essa relação vai envolver uma matriz de rotação.
Passo 3
Agora, vamos entender a matriz de rotação. Se
está girando em relação a
com um certo ângulo, a matriz de rotação
descreve essa rotação. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor em
para as coordenadas no referencial
. Matemáticamente, se
é um vetor, então suas coordenadas em
são
.
Passo 4
A coisa importante aqui é que essa mesma matriz
não só transforma as coordenadas dos vetores, mas também transforma os vetores de base. Ou seja, os novos vetores de base
são obtidos aplicando
aos vetores de base de
:
para cada
.
Passo 5
Então, se a matriz de rotação
faz a ponte entre as bases
e
, e também transforma as coordenadas dos vetores, concluímos que a matriz de transformação dos vetores de base é a mesma usada para transformar as coordenadas de qualquer vetor quando mudamos de um referencial para o outro.
Resposta
Portanto, mostramos que a matriz de transformação dos vetores de base
é igual à matriz utilizada para a transformação das coordenadas de qualquer vetor quando mudamos do referencial
para
.