Mostre que a equação de movimento para a dinâmica de referências não-inerciais pode ser obtida da lagrangiana
L=m v^22-V-m r cdot a0^prime+m2(omega times r)^2+m v cdot(omega times r)
onde v=dotr e V é o potencial da força F. Obtenha a integral de Jacobi associada a esta lagrangiana no caso em que a0^prime e omega são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar como a equação de movimento para referências não-inerciais pode ser obtida a partir de uma lagrangiana específica. A matéria envolvida aqui é a Mecânica Lagrangiana, que é uma forma poderosa de derivar as leis de movimento em física. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a lagrangiana para encontrar as equações de movimento e, depois, calcular a integral de Jacobi quando a aceleração e a velocidade angular são constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a lagrangiana L = m v^22 - V - m r cdot a0^prime + m2(omega times r)^2 + m v cdot (omega times r) é dada por , onde é a energia cinética e é a energia potencial. Na nossa lagrangiana fornecida:
Aqui, , é uma aceleração constante e é uma velocidade angular constante.

Passo 3

Vamos aplicar as Equações de Euler-Lagrange, que são:
ddt(partial Lpartial dotr) - partial Lpartial r = 0
Isso vai nos dar as equações de movimento a partir da lagrangiana.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial Lpartial dotr = m v + m (omega times r) :
ddt(partial Lpartial dotr) = m dotv + m (omega times dotr) = m ddotr + m (omega times v)
Agora, derivamos isso em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, calculamos partial Lpartial r = -m a0^prime + m (omega times (omega times r)) - nabla V :
  1. A derivada de em relação a é .
  2. A derivada de em relação a é .
  3. A derivada de é .
Então,

Passo 6

Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
m ddotr + m (omega times v) + m a0^prime - m (omega times (omega times r)) + nabla V = 0
Simplificando, temos:
m ddotr = -m a0^prime - m (omega times v) + m (omega times (omega times r)) - nabla V

Passo 7

Agora, vamos reorganizar os termos para deixar claro as forças atuantes:
m ddotr = F - m a0^prime - m (omega times v) + m (omega times (omega times r))
Onde é a força derivada do potencial.

Passo 8

Essa é a equação de movimento em um referencial não-inercial com aceleração e velocidade angular . Agora, vamos para a integral de Jacobi.

Passo 9

A integral de Jacobi está relacionada à conservação da energia na mecânica Lagrangiana. Para nosso caso com J = integral L , dt e J = integral ( m v^22 - V - m r cdot a0^prime + m2 (omega times r)^2 + m v cdot (omega times r) ) dt constantes, a integral de Jacobi pode ser encontrada integrando a lagrangiana:
Substituindo :

Resposta

A integral de Jacobi associada à lagrangiana dada, considerando J = integral ( m v^22 - V - m r cdot a0^prime + m2 (omega times r)^2 + m v cdot (omega times r) ) dt e constantes, é:

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