Mostre que a equação de movimento para a dinâmica de referências não-inerciais pode ser obtida da lagrangiana
onde
e
é o potencial da força
. Obtenha a integral de Jacobi associada a esta lagrangiana no caso em que
e
são constantes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente mostrar como a equação de movimento para referências não-inerciais pode ser obtida a partir de uma lagrangiana específica. A matéria envolvida aqui é a Mecânica Lagrangiana, que é uma forma poderosa de derivar as leis de movimento em física. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a lagrangiana para encontrar as equações de movimento e, depois, calcular a integral de Jacobi quando a aceleração e a velocidade angular são constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a lagrangiana
é dada por
, onde
é a energia cinética e
é a energia potencial. Na nossa lagrangiana fornecida:
Aqui,
,
é uma aceleração constante e
é uma velocidade angular constante.
Passo 3
Vamos aplicar as Equações de Euler-Lagrange, que são:
Isso vai nos dar as equações de movimento a partir da lagrangiana.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Agora, derivamos isso em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, calculamos
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 6
Substituindo na Equação de Euler-Lagrange:
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar os termos para deixar claro as forças atuantes:
Onde
é a força derivada do potencial.
Passo 8
Essa é a equação de movimento em um referencial não-inercial com aceleração
e velocidade angular
. Agora, vamos para a integral de Jacobi.
Passo 9
A integral de Jacobi está relacionada à conservação da energia na mecânica Lagrangiana. Para nosso caso com
e
constantes, a integral de Jacobi
pode ser encontrada integrando a lagrangiana:
Substituindo
:
Resposta
A integral de Jacobi associada à lagrangiana dada, considerando
e
constantes, é:
Exercícios relacionados
Determine o efeito da rotação da Terra sobre um pêndulo cujo ponto de suspensão pode girar livremente, conhecido como pêndulo de Foucault.
Considere dois referenciais, um em repouso
e outro girante
. Sendo
e
, com
, a base de
e
, respectivamente. Mostre que a matriz de transformação dos vetores de base é a mesma para a transformação das coordenadas de um vetor arbitrário quando mudamos de um referêncial para o outro.
Definindo o Comutador
de duas matrizes como
, e o Anticomutador
como
. Mostre que:
(a)
(a)
(b)
©
(d)
Um projétil é atirado horizontalmente ao longo da superfície da Terra. Mostre que em primeira aproximação a deflexão angular da Força de Coriolis relativa à direção de tiro varia linearmente com o tempo a uma taxa de
, onde
é a velocidade angular de rotação da Terra e
é a colatitude.