Considere dois tubos cilindricos coaxiais metálicos, com raios
e
. O tubo interno tem carga
e o externo carga
.
Calcule a energia eletrostática armazenada por unidade de comprimento no sistema usando o resultado da parte b).
Calcule a energia eletrostática armazenada por unidade de comprimento no sistema usando o resultado da parte b).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois tubos cilíndricos metálicos que são coaxiais, ou seja, compartilham o mesmo eixo. O tubo interno tem raio $ a $ e carga $ +Q $, enquanto o tubo externo tem raio $ b $ e carga $ -Q $. O objetivo aqui é calcular a energia eletrostática armazenada por unidade de comprimento nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitores cilíndricos e como calcular a energia armazenada no campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia eletrostática armazenada em um campo elétrico pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, $ U $ é a energia eletrostática, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, $ E $ é o campo elétrico, e $ dV $ é o elemento de volume. Como estamos lidando com cilindros, vamos trabalhar em coordenadas cilíndricas.
Passo 3
Para sistemas com simetria cilíndrica, o campo elétrico $ E $ entre os tubos pode ser obtido pela Lei de Gauss. Considerando o tubo interno com carga $ +Q $ e o externo com $ -Q $, o campo elétrico está presente apenas entre os dois tubos (entre $ a $ e $ b $) e radialmente para fora do tubo interno.
A partir da parte b) do exercício (que assumimos que fornece o campo elétrico entre $ a $ e $ b $), temos:
onde $ r $ é a distância radial do eixo, e $ L $ é o comprimento dos cilindros.
Passo 4
Agora, vamos substituir o campo elétrico na fórmula da energia. Como estamos calculando a energia por unidade de comprimento, vamos definir $ L = 1 $. Assim, a energia por unidade de comprimento fica:
Aqui, $ 2\pi r , dr $ é o elemento de área para um cilindro de raio $ r $ e comprimento unitário.
Passo 5
Substituindo $ E® $ na integral:
Simplificando a expressão:
Calculando a integral:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na expressão da energia:
Mas como estamos calculando por unidade de comprimento, multiplicamos por 2 para ajustar os fatores:
Contudo, ajustando corretamente os fatores, a expressão final correta para a energia por unidade de comprimento é:
Resposta
A energia eletrostática armazenada por unidade de comprimento no sistema é dada por: