Considere dois vetores e no espaço tridimensional, onde e .
Prove que se e forem paralelos, então o produto vetorial e, consequentemente, a área do paralelogramo formado por e é zero.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores no espaço tridimensional! A questão nos pede para provar que, se dois vetores e são paralelos, então o produto vetorial é igual a zero. Além disso, isso implica que a área do paralelogramo formado por esses vetores também é zero. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos, como calcular o produto vetorial e como isso se relaciona com a área do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real tal que . Isso simplifica nossa vida porque podemos expressar as componentes de um vetor em função do outro.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Passo 4
Vamos assumir que e são paralelos, então . Substituindo isso nas componentes, temos:
Agora, vamos calcular o produto vetorial usando essas expressões:
Passo 5
Vamos simplificar cada componente:
Então, todas as componentes do produto vetorial são zero, ou seja:
Passo 6
Finalmente, sobre a área do paralelogramo formado por e , sabemos que ela é dada pelo módulo do produto vetorial:
Como , o módulo desse vetor também é zero:
Resposta
Então, provamos que se e são vetores paralelos, o produto vetorial é igual a zero e a área do paralelogramo formado por eles também é zero.