Considere dois vetores
e
no espaço tridimensional, onde
e
.
Prove que se
e
forem paralelos, então o produto vetorial
e, consequentemente, a área do paralelogramo formado por
e
é zero.
Prove que se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores no espaço tridimensional! A questão nos pede para provar que, se dois vetores
e
são paralelos, então o produto vetorial
é igual a zero. Além disso, isso implica que a área do paralelogramo formado por esses vetores também é zero. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos, como calcular o produto vetorial e como isso se relaciona com a área do paralelogramo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real
tal que
. Isso simplifica nossa vida porque podemos expressar as componentes de um vetor em função do outro.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Passo 4
Vamos assumir que
e
são paralelos, então
. Substituindo isso nas componentes, temos:
Agora, vamos calcular o produto vetorial usando essas expressões:
Passo 5
Vamos simplificar cada componente:
Então, todas as componentes do produto vetorial são zero, ou seja:
Passo 6
Finalmente, sobre a área do paralelogramo formado por
e
, sabemos que ela é dada pelo módulo do produto vetorial:
Como
, o módulo desse vetor também é zero:
Resposta
Então, provamos que se
e
são vetores paralelos, o produto vetorial
é igual a zero e a área do paralelogramo formado por eles também é zero.