Considere dois vetores e no espaço tridimensional, onde e .
Prove que se e forem paralelos, então o produto vetorial e, consequentemente, a área do paralelogramo formado por e é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores no espaço tridimensional! A questão nos pede para provar que, se dois vetores e são paralelos, então o produto vetorial é igual a zero. Além disso, isso implica que a área do paralelogramo formado por esses vetores também é zero. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos, como calcular o produto vetorial e como isso se relaciona com a área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real tal que . Isso simplifica nossa vida porque podemos expressar as componentes de um vetor em função do outro.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 4

Vamos assumir que e são paralelos, então . Substituindo isso nas componentes, temos:
Agora, vamos calcular o produto vetorial usando essas expressões:

Passo 5

Vamos simplificar cada componente:
Então, todas as componentes do produto vetorial são zero, ou seja:

Passo 6

Finalmente, sobre a área do paralelogramo formado por e , sabemos que ela é dada pelo módulo do produto vetorial:
Á
Como , o módulo desse vetor também é zero:
Á

Resposta

Então, provamos que se e são vetores paralelos, o produto vetorial é igual a zero e a área do paralelogramo formado por eles também é zero.

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Sejam e três transformações lineares de em tais que . Se
onde é a base canônica de , determine .
Determine soluções , caso existam, para os seguintes sistemas:
Interprete geometricamente as situações representadas em cada sistema.
Sendo e . Calcule:
Considere dois vetores e no espaço tridimensional, onde e .
Mostre que o módulo do produto vetorial de e é igual à área do paralelogramo formado por eles.