Considere dois vetores a e b no espaço tridimensional, onde a=(a1, a2, a3) e b=(b1, b2, b3).
Prove que se a e b forem paralelos, então o produto vetorial a times b=0 e, consequentemente, a área do paralelogramo formado por a e b é zero.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores no espaço tridimensional! A questão nos pede para provar que, se dois vetores a e b são paralelos, então o produto vetorial a times b é igual a zero. Além disso, isso implica que a área do paralelogramo formado por esses vetores também é zero. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem paralelos, como calcular o produto vetorial e como isso se relaciona com a área do paralelogramo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem paralelos. Vetores são paralelos quando um é múltiplo escalar do outro. Ou seja, existe um número real k tal que a = k b. Isso simplifica nossa vida porque podemos expressar as componentes de um vetor em função do outro.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, , a3 b1 - a1 b3, , a1 b2 - a2 b1 )
O produto vetorial resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.

Passo 4

Vamos assumir que a e b são paralelos, então a = k b. Substituindo isso nas componentes, temos:
a = (k b1, k b2, k b3)
Agora, vamos calcular o produto vetorial usando essas expressões:
a times b = ( (k b2) b3 - (k b3) b2, , (k b3) b1 - (k b1) b3, , (k b1) b2 - (k b2) b1 )

Passo 5

Vamos simplificar cada componente:
& (k b2) b3 - (k b3) b2 = k b2 b3 - k b3 b2 = 0 & (k b3) b1 - (k b1) b3 = k b3 b1 - k b1 b3 = 0 & (k b1) b2 - (k b2) b1 = k b1 b2 - k b2 b1 = 0
Então, todas as componentes do produto vetorial são zero, ou seja:
a times b = (0, 0, 0)

Passo 6

Finalmente, sobre a área do paralelogramo formado por a e b, sabemos que ela é dada pelo módulo do produto vetorial:
Área = |a times b| Á
Como a times b = (0, 0, 0), o módulo desse vetor também é zero:
Área = 0 Á

Resposta

Então, provamos que se a e b são vetores paralelos, o produto vetorial a times b é igual a zero e a área do paralelogramo formado por eles também é zero.

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