Sejam e três transformações lineares de em tais que . Se
onde é a base canônica de , determine .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três transformações lineares e que mapeiam em . A relação dada é , o que significa que aplicar e depois é o mesmo que aplicar diretamente. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz representativa de na base canônica, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação em termos de matrizes. Se é a matriz de e é a matriz de , então essa relação se traduz em:
Queremos encontrar , então precisamos isolar essa matriz na equação. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , desde que seja invertível.
Passo 3
Vamos verificar se a matriz é invertível calculando seu determinante. A matriz é:
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso:
Como o determinante de é diferente de zero, é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que é invertível, podemos encontrar usando a relação:
Primeiro, vamos calcular a inversa de , ou seja, .
Passo 5
Para encontrar , usaremos a fórmula da matriz inversa para uma matriz 3x3:
Já sabemos que , então:
A matriz adjunta é a matriz dos cofatores transposta. Vamos calcular os cofatores de :
Calculando os menores e cofatores:
Então, a matriz dos cofatores é:
Transpondo essa matriz para obter a adjunta:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos , podemos multiplicá-la pela matriz para encontrar :