Sejam R, S e T três transformações lineares de R^3 em R^3 tais que R=S circ T. Se
[R]alpha^alpha=[ccc 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 ] e [S]alpha^alpha=[ccc -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 ]
onde alpha é a base canônica de R^3, determine [T]alpha^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três transformações lineares e que mapeiam em . A relação dada é , o que significa que aplicar e depois é o mesmo que aplicar diretamente. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz representativa de na base canônica, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação [R] = [S][T] em termos de matrizes. Se é a matriz de e é a matriz de , então essa relação se traduz em:
Queremos encontrar , então precisamos isolar essa matriz na equação. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , desde que seja invertível.

Passo 3

Vamos verificar se a matriz [S] = -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 é invertível calculando seu determinante. A matriz det(S) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é:
det(S) = (-2)(1 cdot 0 - 2 cdot (-2)) - 1(3 cdot 0 - 2 cdot 1) + (-1)(3 cdot (-2) - 1 cdot 1)
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(S) = (-2)(0 + 4) - 1(0 - 2) + (-1)(-6 - 1)
Aplicando isso:
det(S) = (-2)(4) - 1(-2) + (-1)(-7)
det(S) = -8 + 2 + 7 = 1
Como o determinante de é diferente de zero, é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que [T] = [S]^-1[R] é invertível, podemos encontrar usando a relação:
Primeiro, vamos calcular a inversa de , ou seja, .

Passo 5

Para encontrar S^-1 = 1det(S) cdot adj(S) , usaremos a fórmula da matriz inversa para uma matriz 3x3:
S^-1 = adj(S)
Já sabemos que C11 = det1 & 2 -2 & 0 = (1)(0) - (2)(-2) = 4 C12 = -det3 & 2 1 & 0 = -((3)(0) - (2)(1)) = -(-2) = 2 C13 = det3 & 1 1 & -2 = (3)(-2) - (1)(1) = -7 C21 = -det1 & -1 -2 & 0 = -((1)(0) - (-1)(-2)) = -(0 - 2) = -2 C22 = det-2 & -1 1 & 0 = (-2)(0) - (-1)(1) = 1 C23 = -det-2 & 1 1 & -2 = -((-2)(-2) - (1)(1)) = -(4 - 1) = -3 C31 = det1 & -1 1 & 2 = (1)(2) - (-1)(1) = 3 C32 = -det-2 & -1 3 & 2 = -((-2)(2) - (-1)(3)) = -(-4 + 3) = 1 C33 = det-2 & 1 3 & 1 = (-2)(1) - (1)(3) = -5 , então:
Cof(S) = 4 & 2 & -7 -2 & 1 & -3 3 & 1 & -5
A matriz adjunta adj(S) = 4 & -2 & 3 2 & 1 & 1 -7 & -3 & -5 é a matriz dos cofatores transposta. Vamos calcular os cofatores de [S]^-1 = 4 & -2 & 3 2 & 1 & 1 -7 & -3 & -5 :
Calculando os menores e cofatores:
Então, a matriz dos cofatores é:
Transpondo essa matriz para obter a adjunta:
Portanto:

Passo 6

Agora que temos [T] = [S]^-1[R] , podemos multiplicá-la pela matriz [R] = 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 para encontrar [T] = 4 & -2 & 3 2 & 1 & 1 -7 & -3 & -5 1 & 0 & 1 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 :
Onde é:
Vamos realizar a multiplicação das matrizes:

Passo 7

Calculando cada elemento de [T]11 = (4)(1) + (-2)(2) + (3)(0) = 4 - 4 + 0 = 0 [T]12 = (4)(0) + (-2)(1) + (3)(-1) = 0 - 2 - 3 = -5 [T]13 = (4)(1) + (-2)(1) + (3)(1) = 4 - 2 + 3 = 5 [T]21 = (2)(1) + (1)(2) + (1)(0) = 2 + 2 + 0 = 4 [T]22 = (2)(0) + (1)(1) + (1)(-1) = 0 + 1 - 1 = 0 [T]23 = (2)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4 [T]31 = (-7)(1) + (-3)(2) + (-5)(0) = -7 - 6 + 0 = -13 [T]32 = (-7)(0) + (-3)(1) + (-5)(-1) = 0 - 3 + 5 = 2 [T]33 = (-7)(1) + (-3)(1) + (-5)(1) = -7 - 3 - 5 = -15 :
[T] = 0 & -5 & 5 4 & 0 & 4 -13 & 2 & -15
Portanto, a matriz é:

Resposta

A matriz representativa de [T]alpha^alpha = 0 & -5 & 5 4 & 0 & 4 -13 & 2 & -15 na base canônica é:

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