Sejam e três transformações lineares de em tais que . Se
onde alpha é a base canônica de R^3, determine [T]alpha^alpha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três transformações lineares e que mapeiam em . A relação dada é , o que significa que aplicar e depois é o mesmo que aplicar diretamente. Nosso objetivo aqui é encontrar a matriz representativa de na base canônica, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação [R] = [S][T] em termos de matrizes. Se é a matriz de e é a matriz de , então essa relação se traduz em:
Queremos encontrar , então precisamos isolar essa matriz na equação. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de , desde que seja invertível.
Passo 3
Vamos verificar se a matriz [S] = -2 & 1 & -1 3 & 1 & 2 1 & -2 & 0 é invertível calculando seu determinante. A matriz det(S) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é: