Considere dois vetores a e b no espaço tridimensional, onde a=(a1, a2, a3) e b=(b1, b2, b3).
Mostre que o módulo do produto vetorial de a e b é igual à área do paralelogramo formado por eles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o módulo (ou seja, o tamanho) do produto vetorial de dois vetores a e b no espaço tridimensional é igual à área do paralelogramo que esses vetores formam. Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores a e b, denotado por a times b, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o módulo do produto vetorial é:
|a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta)
Aqui, |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b, e theta é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos pensar na área do paralelogramo formado pelos vetores a e b. A fórmula para calcular essa área também envolve os módulos dos vetores e o seno do ângulo entre eles:
Área = |a| cdot |b| cdot sin(theta) Á

Passo 4

Comparando as duas equações que obtivemos:
|a times b| = |a| cdot |b| cdot sin(theta)
Área = |a| cdot |b| cdot sin(theta) Á
Vemos que elas são iguais. Ou seja, o módulo do produto vetorial de a e b é exatamente igual à área do paralelogramo que eles formam.

Resposta

Portanto, mostramos que |a times b| é igual à área do paralelogramo formado por a e b.

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