Considere dois vetores e no espaço tridimensional, onde e .
Mostre que o módulo do produto vetorial de e é igual à área do paralelogramo formado por eles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o módulo (ou seja, o tamanho) do produto vetorial de dois vetores e no espaço tridimensional é igual à área do paralelogramo que esses vetores formam. Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores e , denotado por , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o módulo do produto vetorial é:
Aqui, e são os módulos dos vetores e , e é o ângulo entre eles.

Passo 3

Agora, vamos pensar na área do paralelogramo formado pelos vetores e . A fórmula para calcular essa área também envolve os módulos dos vetores e o seno do ângulo entre eles:
Á

Passo 4

Comparando as duas equações que obtivemos:
Á
Vemos que elas são iguais. Ou seja, o módulo do produto vetorial de e é exatamente igual à área do paralelogramo que eles formam.

Resposta

Portanto, mostramos que é igual à área do paralelogramo formado por e .

Exercícios relacionados

Sendo e . Calcule:
Considere dois vetores e no espaço tridimensional, onde e .
Prove que se e forem paralelos, então o produto vetorial e, consequentemente, a área do paralelogramo formado por e é zero.
Sejam e
b) Os vetores e são LI ou LD?
Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
b) onde e