Considere dois vetores
e
no espaço tridimensional, onde
e
.
Mostre que o módulo do produto vetorial de
e
é igual à área do paralelogramo formado por eles.
Mostre que o módulo do produto vetorial de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o módulo (ou seja, o tamanho) do produto vetorial de dois vetores
e
no espaço tridimensional é igual à área do paralelogramo que esses vetores formam. Vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores
e
, denotado por
, resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o módulo do produto vetorial é:
Aqui,
e
são os módulos dos vetores
e
, e
é o ângulo entre eles.
Passo 3
Agora, vamos pensar na área do paralelogramo formado pelos vetores
e
. A fórmula para calcular essa área também envolve os módulos dos vetores e o seno do ângulo entre eles:
Passo 4
Comparando as duas equações que obtivemos:
Vemos que elas são iguais. Ou seja, o módulo do produto vetorial de
e
é exatamente igual à área do paralelogramo que eles formam.
Resposta
Portanto, mostramos que
é igual à área do paralelogramo formado por
e
.
Exercícios relacionados
Sendo
e
. Calcule:
Considere dois vetores
e
no espaço tridimensional, onde
e
.
Prove que se e
forem paralelos, então o produto vetorial
e, consequentemente, a área do paralelogramo formado por
e
é zero.
Prove que se
Sejam
e
b) Os vetores e
são LI ou LD?
b) Os vetores
Determine se os conjuntos de vetores abaixo são linearmente dependentes ou linearmente independentes. Justifique.
b) onde
e
b)