Determine soluções , caso existam, para os seguintes sistemas:
Interprete geometricamente as situações representadas em cada sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos que encontrar as soluções para o ponto que satisfazem o seguinte sistema de equações com produtos escalares:
Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial e produtos escalares. Vamos precisar entender como expressar esses produtos em termos das coordenadas do ponto e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto escalar , onde é um vetor qualquer. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
No nosso caso, . Vamos aplicar isso às duas equações do sistema.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar para cada equação:
  1. Para a primeira equação:
  1. Para a segunda equação:
Agora, temos um sistema simplificado de duas equações com duas incógnitas e :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos somar as duas equações para eliminar :
Agora que temos , substituímos esse valor em uma das equações para achar . Usando a primeira equação:
Quanto a , percebe-se que ele não aparece nas equações, o que significa que ele pode ser qualquer valor real.

Resposta

As soluções são todos os pontos da forma , onde é qualquer número real.

Interpretação Geométrica

Geometricamente, cada equação representa um plano no espaço tridimensional. A interseção desses dois planos é uma reta. Assim, todas as soluções formam uma reta paralela ao eixo , localizada no ponto no plano .

Exercícios relacionados

Determine soluções , caso existam, para os seguintes sistemas:
Interprete geometricamente as situações representadas em cada sistema.
Determine a distância entre as arestas opostas e em um tetraedro em função das medidas dos segmentos e .
Sejam e três transformações lineares de em tais que . Se
onde é a base canônica de , determine .
Considere dois vetores e no espaço tridimensional, onde e .
Prove que se e forem paralelos, então o produto vetorial e, consequentemente, a área do paralelogramo formado por e é zero.