Determine soluções P=(x1, x2, x3), caso existam, para os seguintes sistemas:
l O P cdot(1,1,0)=1 / 2 O P cdot(-1,1,0)=1 / 2
Interprete geometricamente as situações representadas em cada sistema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos que encontrar as soluções para o ponto O P cdot (1,1,0) = 12 O P cdot (-1,1,0) = 12 que satisfazem o seguinte sistema de equações com produtos escalares:
Aqui, estamos lidando com álgebra vetorial e produtos escalares. Vamos precisar entender como expressar esses produtos em termos das coordenadas do ponto e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o produto escalar a cdot b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 , onde é um vetor qualquer. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
No nosso caso, . Vamos aplicar isso às duas equações do sistema.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar para cada equação:
  1. Para a primeira equação:
O P cdot (1,1,0) = x1 cdot 1 + x2 cdot 1 + x3 cdot 0 = x1 + x2 = 12
  1. Para a segunda equação:
O P cdot (-1,1,0) = x1 cdot (-1) + x2 cdot 1 + x3 cdot 0 = -x1 + x2 = 12
Agora, temos um sistema simplificado de duas equações com duas incógnitas x1 + x2 = 12 - x1 + x2 = 12 e :

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos somar as duas equações para eliminar (x1 + x2) + (-x1 + x2) = 12 + 12 2x2 = 1 x2 = 12 :
x1 + 12 = 12 x1 = 0
Agora que temos , substituímos esse valor em uma das equações para achar . Usando a primeira equação:
Quanto a , percebe-se que ele não aparece nas equações, o que significa que ele pode ser qualquer valor real.

Resposta

As soluções são todos os pontos da forma , onde é qualquer número real.

Interpretação Geométrica

Geometricamente, cada equação representa um plano no espaço tridimensional. A interseção desses dois planos é uma reta. Assim, todas as soluções formam uma reta paralela ao eixo , localizada no ponto no plano .

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