Considere dois vetores A=3 imath-2 jmath+k e B=-imath-4 jmath-k. Calcule:
a) A+B
b) A-B
c) |A+B|
d) |A-B|
e) A cdot B
f) A times B
g) |A times B|

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve dois vetores A=3 imath-2 jmath+k e B=-imath-4 jmath-k. Este exercício aborda operações com vetores, como adição, subtração, cálculo de magnitudes, produto escalar e produto vetorial. Para resolver, precisaremos conhecer as regras básicas dessas operações e aplicar as fórmulas correspondentes.

Passo 2

a) A + B
Para somar dois vetores, adicionamos suas componentes correspondentes.
A + B = (3 + (-1)) imath + (-2 + (-4)) jmath + (1 + (-1)) k
Simplificando:
A + B = 2 imath -6 jmath + 0 k

Passo 3

b) A - B
Para subtrair dois vetores, subtraímos as componentes correspondentes.
A - B = (3 - (-1)) imath + (-2 - (-4)) jmath + (1 - (-1)) k
Simplificando:
A - B = 4 imath + 2 jmath + 2 k

Passo 4

c) |A + B|
Para calcular a magnitude de um vetor, usamos a fórmula:
|V| = raizVx^2 + Vy^2 + Vz^2
Já temos A + B = 2 imath -6 jmath.
Então,
|A + B| = raiz2^2 + (-6)^2 + 0^2 = raiz4 + 36 = raiz40 approx 6,32

Passo 5

d) |A - B|
Usamos a mesma fórmula da magnitude.
A - B = 4 imath + 2 jmath + 2 k.
Então,
|A - B| = raiz4^2 + 2^2 + 2^2 = raiz16 + 4 + 4 = raiz24 approx 4,90

Passo 6

e) A cdot B
O produto escalar de dois vetores é calculado pela soma do produto das componentes correspondentes.
A cdot B = (3)(-1) + (-2)(-4) + (1)(-1) = -3 + 8 -1 = 4

Passo 7

f) A times B
O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. Usamos a regra do determinante:
A times B = imath & jmath & k 3 & -2 & 1 -1 & -4 & -1
Calculando:
A times B = imath((-2)(-1) - (1)(-4)) - jmath(3(-1) - (1)(-1)) + k(3(-4) - (-2)(-1))
Simplificando:
A times B = imath(2 + 4) - jmath(-3 +1) + k(-12 -2) = 6 imath +2 jmath -14 k

Passo 8

g) |A times B|
Calculamos a magnitude do vetor resultante do produto vetorial.
|A times B| = raiz6^2 + 2^2 + (-14)^2 = raiz36 + 4 + 196 = raiz236 approx 15,36

Resposta

a) A+B = 2 imath -6 jmath
b) A-B = 4 imath + 2 jmath + 2 k
c) |A+B| approx 6,32
d) |A-B| approx 4,90
e) A cdot B = 4
f) A times B = 6 imath +2 jmath -14 k
g) |A times B| approx 15,36

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