Determine as componentes retangulares dos seguintes vetores a que se apoiam no plano x y e fazem um ângulo theta com o eixo x (Figura 6) se (a) a=10 m e theta=pi / 6, (b) a=5 m e theta=pi / 4, © a=7 km e theta=pi / 3, (d) a=5 km e theta=pi / 2, (e) a=15 km / s e theta=150^circ, (f) a=10 m / s e theta=240^circ e (g) a=8 m / s^2 e theta=270^circ pi / 4.

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício sobre vetores no plano XY. A tarefa é encontrar as componentes retangulares (as partes que apontam para os eixos X e Y) de vários vetores, sabendo seu tamanho e o ângulo que formam com o eixo X. Para isso, vamos usar trigonometria, especificamente as funções cosseno e seno, que nos ajudam a decompor o vetor nessas direções.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a):
  • Vetor: ax = 10 cdot cos(pi6) = 10 cdot raiz32 = 5raiz3 , m
  • Ângulo: ay = 10 cdot sin(pi6) = 10 cdot 12 = 5 , m
Para achar as componentes:
  • Componente X:
  • Componente Y:
Calculando:

Passo 3

Agora, a parte (b):
  • Vetor: ax = 5 cdot cos(pi4) = 5 cdot raiz22 = 5raiz22 , m
  • Ângulo: ay = 5 cdot sin(pi4) = 5 cdot raiz22 = 5raiz22 , m
Componentes:

Passo 4

Vamos para a parte ©:
  • Vetor: ax = 7 cdot cos(pi3) = 7 cdot 12 = 3,5 , km
  • Ângulo: ay = 7 cdot sin(pi3) = 7 cdot raiz32 = 7raiz32 , km
Componentes:

Passo 5

Agora, a parte (d):
  • Vetor: ax = 5 cdot cos(pi2) = 5 cdot 0 = 0 , km
  • Ângulo: ay = 5 cdot sin(pi2) = 5 cdot 1 = 5 , km
Componentes:

Passo 6

Vamos para a parte (e):
  • Vetor: ax = 15 cdot cos(5pi6) = 15 cdot (-raiz32) = -15raiz32 , km/s
  • Ângulo: ay = 15 cdot sin(5pi6) = 15 cdot 12 = 7,5 , km/s (lembra que )
Componentes:

Passo 7

Agora, a parte (f):
  • Vetor: ax = 10 cdot cos(4pi3) = 10 cdot (-12) = -5 , m/s
  • Ângulo: ay = 10 cdot sin(4pi3) = 10 cdot (-raiz32) = -5raiz3 , m/s (ou )
Componentes:

Passo 8

Por fim, a parte (g):
  • Vetor: ax = 8 cdot cos(3pi2) = 8 cdot 0 = 0 , m/s^2
  • Ângulo: ay = 8 cdot sin(3pi2) = 8 cdot (-1) = -8 , m/s^2 (ou )
Componentes:

Resposta

As componentes retangulares dos vetores são:
a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) ,
g) ,

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