A velocidade de uma partícula é dada por v=(7 m / s^3) t^2-5 m / s. em que t é expresso em segundos e v em metros por segundo. Se a partícula parte da origem, x0=0 m em t=0 s, obtenha a função posição geral, x(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a velocidade de uma partícula em função do tempo: . Queremos encontrar a função posição , sabendo que a partícula começa na origem, ou seja, quando . Para resolver isso, vamos integrar a função velocidade para achar a posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a posição x(t) = integral v(t) , dt é a integral da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é:
x(t) = integral (7, t^2 - 5) dt
Então, vamos integrar a expressão da velocidade:

Passo 3

Vamos integrar termo a termo. A integral de integral 7, t^2 , dt = 7 cdot t^33 = 73 t^3 em relação a integral -5 , dt = -5t é:
E a integral de em relação a é:

Passo 4

Juntando as integrais, temos:
x(t) = 73 t^3 - 5t + C
Onde é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial.

Passo 5

Sabemos que quando 0 = 73 (0)^3 - 5(0) + C Rightarrow 0 = 0 - 0 + C Rightarrow C = 0 , . Vamos substituir esses valores na equação para encontrar :

Resposta

Portanto, a função posição geral é:
x(t) = 73 t^3 - 5t

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