Três vetores a, b e c possuem as seguintes componentes nas direções x e y: ax=6, ay=-3, bx=-3, by=4, cx=2 e cy=5. Qual é o módulo do vetor a+b+c ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores: a, b e c. Cada um deles tem componentes nas direções x e y. O objetivo é encontrar o módulo (ou seja, o tamanho) do vetor resultante da soma a + b + c. Para isso, vamos precisar saber como somar vetores e calcular o módulo de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos somar as componentes correspondentes dos vetores a, b e c. Ou seja, somamos as componentes x de cada vetor e depois as componentes y.
(a + b + c)x = ax + bx + cx = 6 + (-3) + 2
(a + b + c)y = ay + by + cy = (-3) + 4 + 5

Passo 3

Vamos calcular essas somas:
Para a componente x:
6 + (-3) + 2 = 6 - 3 + 2 = 5
Para a componente y:
-3 + 4 + 5 = (-3 + 4) + 5 = 1 + 5 = 6
Então, o vetor resultante é:
a + b + c = (5, 6)

Passo 4

Agora, para encontrar o módulo do vetor a + b + c, usamos a fórmula do módulo de um vetor em duas dimensões:
||v|| = raizvx^2 + vy^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
||a + b + c|| = raiz5^2 + 6^2

Passo 5

Vamos calcular os quadrados:
5^2 = 25
6^2 = 36
Somando:
25 + 36 = 61
Então,
||a + b + c|| = raiz61

Resposta

O módulo do vetor a + b + c é raiz61.

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