Considere dois vetores $ \vec{v} $ e $ \vec{w} $. Mostre que a soma $ \vec{v} + \vec{w} $ é uma operação bem definida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a soma de dois vetores, , é uma operação bem definida. Isso está dentro do estudo de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa somar vetores e garantir que essa soma sempre resulte em outro vetor no mesmo espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é basicamente uma entidade que tem magnitude (tamanho) e direção. Em álgebra linear, vetores são representados como listas ordenadas de números, tipo e .

Passo 3

Agora, a soma é feita componencialmente, ou seja, somando cada componente correspondente dos vetores. Matemáticamente, fica assim:
Isso significa que a soma resulta em um novo vetor que ainda está no mesmo espaço vetorial que e .

Passo 4

Para a operação ser bem definida, precisamos garantir que, independente de como escolhemos e , a soma sempre será única e estará no espaço vetorial. Como vimos no passo anterior, cada componente da soma é única e o resultado também pertence ao mesmo espaço dos vetores originais.

Resposta

Então, mostramos que a soma é uma operação bem definida porque, ao somar cada componente de e , sempre obtemos um vetor único que pertence ao mesmo espaço vetorial. Assim, a operação de soma de vetores está garantida como bem definida.

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Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:
Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(b) .
Considere a função , não nulo.
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que
Seja $ \vec{u} = (1,2) $ e $ \vec{v} = (2,1) $. Mostre que $ \vec{w} = (a, b) $ é uma combinação linear de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.