Considere dois vetores $ \vec{v} $ e $ \vec{w} $. Mostre que a soma $ \vec{v} + \vec{w} $ é uma operação bem definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que a soma de dois vetores, , é uma operação bem definida. Isso está dentro do estudo de álgebra linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa somar vetores e garantir que essa soma sempre resulte em outro vetor no mesmo espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é basicamente uma entidade que tem magnitude (tamanho) e direção. Em álgebra linear, vetores são representados como listas ordenadas de números, tipo e .
Passo 3
Agora, a soma é feita componencialmente, ou seja, somando cada componente correspondente dos vetores. Matemáticamente, fica assim:
Isso significa que a soma resulta em um novo vetor que ainda está no mesmo espaço vetorial que e .
Passo 4
Para a operação ser bem definida, precisamos garantir que, independente de como escolhemos e , a soma sempre será única e estará no espaço vetorial. Como vimos no passo anterior, cada componente da soma é única e o resultado também pertence ao mesmo espaço dos vetores originais.
Resposta
Então, mostramos que a soma é uma operação bem definida porque, ao somar cada componente de e , sempre obtemos um vetor único que pertence ao mesmo espaço vetorial. Assim, a operação de soma de vetores está garantida como bem definida.