Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma função trigonométrica: . Nosso objetivo é calcular essa função usando as regras de derivação para funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar algumas fórmulas básicas de derivadas de funções trigonométricas e aplicar as regras de derivação de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos o numerador sendo e o denominador . Para derivar uma função que é uma fração, usamos a Regra do Quociente. Essa regra diz que se temos uma função , sua derivada é:

Passo 3

Agora, vamos identificar e na nossa função:
Precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 4

Calculando :
A derivada de é .

Passo 5

Calculando :
A derivada de é e a derivada de é (lembre que a derivada de é , então com o sinal fica ).

Passo 6

Agora, aplique a Regra do Quociente substituindo , , e :

Passo 7

Vamos simplificar o numerador:
Então,

Passo 8

Lembrando da identidade trigonométrica fundamental:
Substituindo isso no numerador:

Passo 9

Simplificando o numerador:
Então,

Passo 10

Podemos reescrever como :

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Seja
Esboce o gráfico e calcule os limites indicados se existirem:
(b) .
Demonstre as propriedades da multiplicação por escalar apresentadas.
Considere dois vetores $ \vec{v} $ e $ \vec{w} $. Mostre que a soma $ \vec{v} + \vec{w} $ é uma operação bem definida.
Considere a função , não nulo.
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que