Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma função trigonométrica: . Nosso objetivo é calcular essa função usando as regras de derivação para funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar lembrar algumas fórmulas básicas de derivadas de funções trigonométricas e aplicar as regras de derivação de frações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função. Temos o numerador sendo e o denominador
. Para derivar uma função que é uma fração, usamos a Regra do Quociente. Essa regra diz que se temos uma função
, sua derivada é:
Passo 3
Agora, vamos identificar
e
na nossa função:
Precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 4
Calculando
:
A derivada de é .
A derivada de é
Passo 5
Calculando
:
A derivada de é
e a derivada de
é (lembre que a derivada de
é , então com o sinal fica ).
A derivada de
Passo 6
Agora, aplique a Regra do Quociente substituindo
,
,
e
:
Passo 7
Vamos simplificar o numerador:
Então,
Passo 8
Lembrando da identidade trigonométrica fundamental:
Substituindo isso no numerador:
Passo 9
Simplificando o numerador:
Então,
Passo 10
Podemos reescrever
como
:
Resposta
A derivada de é: