Seja $ \vec{u} = (1,2) $ e $ \vec{v} = (2,1) $. Mostre que $ \vec{w} = (a, b) $ é uma combinação linear de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois vetores,
e
, e pede para mostrar que
é uma combinação linear desses dois vetores. Isso está dentro do assunto de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é combinação linear e como encontrar os coeficientes que combinam
e
para formar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores
e
é qualquer vetor que pode ser escrito na forma:
onde
e
são escalares, ou seja, números reais que multiplicam os vetores
e
respectivamente.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes
e
de forma que, quando multiplicamos
e
por eles e somamos, obtenhamos
. Vamos escrever isso de forma mais explícita usando as componentes dos vetores:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Podemos fazer isso de várias maneiras, mas vamos usar a substituição.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Agora que temos
, substituímos de volta na expressão para
:
Passo 5
Encontramos os coeficientes
e
que fazem
ser uma combinação linear de
e
. Com esses valores, qualquer vetor
pode ser expresso como uma combinação linear de
e
.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
,
não nulo.
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que
Considere dois vetores $ \vec{v} $ e $ \vec{w} $. Mostre que a soma $ \vec{v} + \vec{w} $ é uma operação bem definida.
Explique por que o ponto
é um ponto de mínimo da função
. O que acontece com a derivada neste ponto?
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções: