Seja $ \vec{u} = (1,2) $ e $ \vec{v} = (2,1) $. Mostre que $ \vec{w} = (a, b) $ é uma combinação linear de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá dois vetores, e , e pede para mostrar que é uma combinação linear desses dois vetores. Isso está dentro do assunto de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que é combinação linear e como encontrar os coeficientes que combinam e para formar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores e é qualquer vetor que pode ser escrito na forma:
onde e são escalares, ou seja, números reais que multiplicam os vetores e respectivamente.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar esses coeficientes e de forma que, quando multiplicamos e por eles e somamos, obtenhamos . Vamos escrever isso de forma mais explícita usando as componentes dos vetores:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar e . Podemos fazer isso de várias maneiras, mas vamos usar a substituição.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos na segunda equação:
Agora que temos , substituímos de volta na expressão para :

Passo 5

Encontramos os coeficientes e que fazem ser uma combinação linear de e . Com esses valores, qualquer vetor pode ser expresso como uma combinação linear de e .

Resposta

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Considere a função , não nulo.
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que
Considere dois vetores $ \vec{v} $ e $ \vec{w} $. Mostre que a soma $ \vec{v} + \vec{w} $ é uma operação bem definida.
Explique por que o ponto é um ponto de mínimo da função . O que acontece com a derivada neste ponto?
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes funções: