Considere a função , não nulo.
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar uma expressão envolvendo a função exponencial . O conteúdo principal aqui é as propriedades das funções exponenciais e, possivelmente, conceitos relacionados a limites ou derivadas. Para resolver, vamos usar as propriedades das exponenciais, manipulação algébrica e entender como elas se aplicam nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a diferença . Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos dividir essa diferença por :
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Observamos que a expressão aparece. Podemos reescrever isso multiplicando e dividindo por :
Substituindo de volta na equação anterior:

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
Que é exatamente a expressão que queríamos verificar.

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Considere dois vetores $ \vec{v} $ e $ \vec{w} $. Mostre que a soma $ \vec{v} + \vec{w} $ é uma operação bem definida.
Usando as regras de derivação para funções trigonométricas, calcule:
Seja $ \vec{u} = (1,2) $ e $ \vec{v} = (2,1) $. Mostre que $ \vec{w} = (a, b) $ é uma combinação linear de $ \vec{u} $ e $ \vec{v} $.
Explique por que o ponto é um ponto de mínimo da função . O que acontece com a derivada neste ponto?