Considere a função f(x) = e^(k x), com k in R não nulo.
(a) Use as propriedades da exponencial para verificar que
(f(x+h) - f(x)) / h = k * e^(k * x) * ((e^(h * k) - 1) / (k * h))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente verificar uma expressão envolvendo a função exponencial . O conteúdo principal aqui é as propriedades das funções exponenciais e, possivelmente, conceitos relacionados a limites ou derivadas. Para resolver, vamos usar as propriedades das exponenciais, manipulação algébrica e entender como elas se aplicam nessa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a diferença . Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos dividir essa diferença por h:
Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Observamos que a expressão aparece. Podemos reescrever isso multiplicando e dividindo por k:
Substituindo de volta na equação anterior:

Passo 5

Simplificando a expressão, temos:
Que é exatamente a expressão que queríamos verificar.

Resposta

Portanto, mostramos que:
(f(x+h) - f(x)) / h = k * e^(k * x) * ((e^(h * k) - 1) / (k * h))

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