Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, uma para chamada e outra para chamada . A transformação linear leva vetores de para de acordo com a regra . Nosso objetivo é encontrar a matriz de no sistema de coordenadas definido pelas bases e , ou seja, .
Pra isso, vamos precisar:
Entender como a transformação age nos vetores da base .
Expressar os resultados de em termos da base .
Montar a matriz usando esses resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os vetores da base de :
Esses serão nossos vetores de entrada para a transformação .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação em cada um desses vetores da base .
Para o primeiro vetor :
Para o segundo vetor :
Para o terceiro vetor :
Passo 4
Agora que temos as imagens dos vetores de através de , precisamos expressionar esses vetores na base de :
Isso significa que precisamos encontrar combinações lineares desses vetores que resultem nos vetores que obtivemos após aplicar .
Passo 5
Vamos expressar cada vetor como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, para cada , encontraremos e .
Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .
Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .
Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .
Passo 6
Com esses resultados, podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados na base :