Considere duas bases:
e
Seja
uma transformação linear dada por
Determine a matriz
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, uma para
chamada
e outra para
chamada
. A transformação linear
leva vetores de
para
de acordo com a regra
. Nosso objetivo é encontrar a matriz de
no sistema de coordenadas definido pelas bases
e
, ou seja,
.
Pra isso, vamos precisar:
- Entender como a transformação
age nos vetores da base . - Expressar os resultados de
em termos da base . - Montar a matriz
usando esses resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os vetores da base
de
:
Esses serão nossos vetores de entrada para a transformação
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação
em cada um desses vetores da base
.
- Para o primeiro vetor
:
- Para o segundo vetor
:
- Para o terceiro vetor
:
Passo 4
Agora que temos as imagens dos vetores de
através de
, precisamos expressionar esses vetores na base
de
:
Isso significa que precisamos encontrar combinações lineares desses vetores que resultem nos vetores que obtivemos após aplicar
.
Passo 5
Vamos expressar cada vetor
como uma combinação linear dos vetores de
. Ou seja, para cada
, encontraremos
e
.
- Para
:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, então
.
Logo, em
é
.
Logo,
- Para
:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, então
.
Logo, em
é
.
Logo,
- Para
:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, então
.
Logo, em
é
.
Logo,
Passo 6
Com esses resultados, podemos montar a matriz
. Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados na base
:
Resposta
A matriz
é: