Considere duas bases:
beta=(1,2,1),(0,1,0),(0,0,1) de R^3
e
beta^prime=(1,1),(1,0) de R^2
Seja T: R^3 longrightarrow R^2 uma transformação linear dada por
T(x, y, z)=(2 x+y-3 z, 3 x-y+z)
Determine a matriz
[T]beta^prime^beta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, uma para chamada e outra para chamada . A transformação linear leva vetores de para de acordo com a regra . Nosso objetivo é encontrar a matriz de no sistema de coordenadas definido pelas bases e , ou seja, .
Pra isso, vamos precisar:
  1. Entender como a transformação age nos vetores da base .
  2. Expressar os resultados de em termos da base .
  3. Montar a matriz usando esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os vetores da base beta = (1, 2, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1) de :
Esses serão nossos vetores de entrada para a transformação .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação T(1, 2, 1) = (2(1) + 2 - 3(1), 3(1) - 2 + 1) = (2 + 2 - 3, 3 - 2 + 1) = (1, 2) em cada um desses vetores da base T(0, 1, 0) = (2(0) + 1 - 3(0), 3(0) - 1 + 0) = (0 + 1 - 0, 0 - 1 + 0) = (1, -1) .
  1. Para o primeiro vetor T(0, 0, 1) = (2(0) + 0 - 3(1), 3(0) - 0 + 1) = (0 + 0 - 3, 0 - 0 + 1) = (-3, 1) :
  1. Para o segundo vetor :
  1. Para o terceiro vetor :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores de beta' = (1, 1), (1, 0) através de , precisamos expressionar esses vetores na base de :
Isso significa que precisamos encontrar combinações lineares desses vetores que resultem nos vetores que obtivemos após aplicar .

Passo 5

Vamos expressar cada vetor a + b = 1 a = 2 como uma combinação linear dos vetores de 2 -1 . Ou seja, para cada a + b = 1 a = -1 , encontraremos -1 2 e a + b = -3 a = 1 .
  1. Para 1 -4 :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .
  1. Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .
  1. Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .

Passo 6

Com esses resultados, podemos montar a matriz [T]beta'^beta = 2 & -1 & 1 -1 & 2 & -4 . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados na base :

Resposta

A matriz [T]beta'^beta = 2 & -1 & 1 -1 & 2 & -4 é:

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