Considere duas bases:
e
Seja uma transformação linear dada por
Determine a matriz

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases, uma para chamada e outra para chamada . A transformação linear leva vetores de para de acordo com a regra . Nosso objetivo é encontrar a matriz de no sistema de coordenadas definido pelas bases e , ou seja, .
Pra isso, vamos precisar:
  1. Entender como a transformação age nos vetores da base .
  2. Expressar os resultados de em termos da base .
  3. Montar a matriz usando esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os vetores da base de :
Esses serão nossos vetores de entrada para a transformação .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação em cada um desses vetores da base .
  1. Para o primeiro vetor :
  1. Para o segundo vetor :
  1. Para o terceiro vetor :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores de através de , precisamos expressionar esses vetores na base de :
Isso significa que precisamos encontrar combinações lineares desses vetores que resultem nos vetores que obtivemos após aplicar .

Passo 5

Vamos expressar cada vetor como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, para cada , encontraremos e .
  1. Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .
  1. Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .
  1. Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, , então .
Logo, em é .

Passo 6

Com esses resultados, podemos montar a matriz . Cada coluna dessa matriz corresponde às coordenadas dos vetores transformados na base :

Resposta

A matriz é:

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5)[Desafio] Considere o elipsóide e suponda .
i) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
Sugestão: Foi feito em sala de aula o cálculo da existência dos dois círculos.
Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
(b)
Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regram de Cramer:
(b)
Seja a função


Mostrar que f é um produto interno em e calcular:
b) Um vetor unitário a partir de ;