Seja a função
Mostrar que f é um produto interno em e calcular:
b) Um vetor unitário a partir de ;
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que define um produto interno no espaço . O conteúdo envolve álgebra linear, especificamente produtos internos e normalização de vetores. Para resolver a parte (b), precisamos encontrar um vetor unitário a partir do vetor utilizando o produto interno definido pela função .
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem comprimento (ou norma) igual a 1. Para transformar um vetor qualquer em um vetor unitário, basta dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento.
Passo 3
Para encontrar a norma de um vetor no espaço com um produto interno definido, usamos a fórmula:
onde é o produto interno do vetor consigo mesmo. No nosso caso, o vetor é .
Passo 4
Vamos calcular usando a definição da função :
Passo 5
Primeiro, multiplicamos a matriz pelo vetor da direita:
Passo 6
Agora, multiplicamos o vetor resultante pelo vetor linha da esquerda:
Portanto, .
Passo 7
Com isso, a norma do vetor é:
Passo 8
Finalmente, para obter o vetor unitário , dividimos cada componente de pela sua norma: