Seja a função


Mostrar que f é um produto interno em e calcular:
b) Um vetor unitário a partir de ;

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que define um produto interno no espaço . O conteúdo envolve álgebra linear, especificamente produtos internos e normalização de vetores. Para resolver a parte (b), precisamos encontrar um vetor unitário a partir do vetor utilizando o produto interno definido pela função .

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem comprimento (ou norma) igual a 1. Para transformar um vetor qualquer em um vetor unitário, basta dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento.

Passo 3

Para encontrar a norma de um vetor no espaço com um produto interno definido, usamos a fórmula:
onde é o produto interno do vetor consigo mesmo. No nosso caso, o vetor é .

Passo 4

Vamos calcular usando a definição da função :

Passo 5

Primeiro, multiplicamos a matriz pelo vetor da direita:

Passo 6

Agora, multiplicamos o vetor resultante pelo vetor linha da esquerda:
Portanto, .

Passo 7

Com isso, a norma do vetor é:

Passo 8

Finalmente, para obter o vetor unitário , dividimos cada componente de pela sua norma:

Resposta

Um vetor unitário a partir de é .

Exercícios relacionados

Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regram de Cramer:
(b)
Considere duas bases:
e
Seja uma transformação linear dada por
Determine a matriz
Verifique se as funções são ou não transformações lineares: dada por .
Resolva pela regra de Cramer os sistemas de equações abaixo:
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