Seja a função
f: R^2 times R^2 longrightarrow M(1,1)
((x1, y1),(x2, y2)) longmapsto[x1 y1][ll1 & 1 1 & 2][lx2 y2]
Mostrar que f é um produto interno em R^2 e calcular:
b) Um vetor unitário a partir de (1,3);

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que define um produto interno no espaço R^2. O conteúdo envolve álgebra linear, especificamente produtos internos e normalização de vetores. Para resolver a parte (b), precisamos encontrar um vetor unitário a partir do vetor (1,3) utilizando o produto interno definido pela função f.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem comprimento (ou norma) igual a 1. Para transformar um vetor qualquer em um vetor unitário, basta dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento.

Passo 3

Para encontrar a norma de um vetor no espaço com um produto interno definido, usamos a fórmula:
|v| = raizf(v, v)
onde f(v, v) é o produto interno do vetor consigo mesmo. No nosso caso, o vetor v é (1,3).

Passo 4

Vamos calcular f(v, v) usando a definição da função f:
f( 1 3, 1 3 ) = 1 & 3 1 & 1 1 & 2 1 3

Passo 5

Primeiro, multiplicamos a matriz pelo vetor da direita:
1 & 1 1 & 2 1 3 = (1 cdot 1) + (1 cdot 3) (1 cdot 1) + (2 cdot 3) = 4 7

Passo 6

Agora, multiplicamos o vetor resultante pelo vetor linha da esquerda:
1 & 3 4 7 = (1 cdot 4) + (3 cdot 7) = 4 + 21 = 25
Portanto, f(v, v) = 25.

Passo 7

Com isso, a norma do vetor v é:
|v| = raiz25 = 5

Passo 8

Finalmente, para obter o vetor unitário u, dividimos cada componente de v pela sua norma:
u = v|v| = 15 1 3 = dfrac15 dfrac35

Resposta

Um vetor unitário a partir de (1,3) é ( dfrac15, dfrac35 ).

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