Verifique se os sistemas são possíveis e, em seguida, resolva-os, se possível, utilizando a regram de Cramer:
(b) lx+2 y=-3 z 2 x+y=-3 z 3 x+z=-y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema de três equações com três incógnitas: , e . O conteúdo que vamos usar é Álgebra Linear, especificamente o método de Cramer para resolver sistemas lineares. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de forma mais organizada:
x + 2y + 3z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + y - z = 0
Aqui, movemos todos os termos para o lado esquerdo para igualar a zero.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes A = 1 & 2 & 3 2 & 1 & 3 3 & 1 & -1 do sistema:
Cada linha representa os coeficientes de , e nas equações correspondentes.

Passo 4

Para usar a regra de Cramer, precisamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot (-1) - 3 cdot 1) - 2 cdot (2 cdot (-1) - 3 cdot 3) + 3 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 3) . Se esse determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única.
Calculando det(A) = 1 cdot (-1 - 3) - 2 cdot (-2 - 9) + 3 cdot (2 - 3) :
det(A) = 1 cdot (-4) - 2 cdot (-11) + 3 cdot (-1)
det(A) = -4 + 22 - 3 = 15
Como , o sistema tem uma solução única.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as soluções para , e usando a regra de Cramer. Para isso, substituímos a coluna correspondente à variável pela coluna dos termos constantes (no caso, zero), calculamos os determinantes e dividimos pelo determinante de .
Mas como todos os lados direitos são zero, isso indica que a única solução possível é a trivial .

Resposta

O sistema é possível e determinado, com a única solução , e .

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