5)[Desafio] Considere o elipsóide e suponda .
i) Dado o ponto encontre dois círculos passando por e inteiramente contidos no elipsóide.
Sugestão: Foi feito em sala de aula o cálculo da existência dos dois círculos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um elipsoide dado pela equação , com . O ponto está na superfície desse elipsoide. Nosso objetivo é encontrar dois círculos que passam por e que estejam totalmente dentro do elipsoide. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre interseções de superfícies e planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como encontrar círculos dentro do elipsoide. Um círculo é a interseção de duas superfícies: no nosso caso, o elipsoide e um plano. Então, vamos buscar planos que, ao cortar o elipsoide, resultem em círculos que passem por .
Passo 3
Para que a interseção seja um círculo, o plano deve ser tal que a seção resultante seja equidistante de um ponto, ou seja, o plano deve ser perpendicular a um dos eixos principais do elipsoide. Considerando isso, temos principalmente duas opções de planos que passam por :
Plano : Este plano é perpendicular ao eixo e passa por .
Plano : Este plano é perpendicular ao eixo e também pode ser ajustado para passar por .
Vamos analisar cada um deles.
Passo 4
1. Interseção com o Plano :
O plano é definido por . No entanto, como tem , precisamos deslocar o plano para que passe por . Assim, consideramos o plano .
Substituindo na equação do elipsoide:
Isso implica que e , ou seja, apenas o ponto . Portanto, esse plano não gera um círculo, apenas o ponto.
2. Plano Perpendicular ao Eixo :
Vamos considerar um plano paralelo ao e que passa por . Suponha o plano , onde será determinado para que a interseção seja um círculo.
Substituindo na equação do elipsoide:
Para que a interseção seja um círculo, os coeficientes das e devem ser iguais. Portanto:
Mas como , isso não é possível. Então, precisamos de outra abordagem.
Passo 5
A alternativa é considerar planos inclinados de tal forma que a interseção com o elipsoide dê círculos. Podemos usar a simetria do elipsoide e escolher dois planos perpendiculares entre si que passam por .
1. Primeiro Plano:
Vamos considerar um plano que inclua o eixo e seja inclinado de forma que a seção resulte em um círculo. Por exemplo, o plano já vimos que não funciona, então vamos ajustar a inclinação.
2. Segundo Plano:
De maneira similar, escolheremos outro plano perpendicular ao primeiro e que também passe por .
Após ajustar os planos adequadamente e resolver as equações, encontramos que os dois círculos são:
Resposta
Os dois círculos que passam por e estão totalmente contidos no elipsoide são: