Considere duas bases de
dadas por
Seja
uma transformação linear dada por
Determine a matriz
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz da transformação linear
de
para
em relação às bases
e
. A transformação é dada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar
usando as bases fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as bases. A base
é formada pelos vetores
e
, e a base
é formada por
e
. Nosso objetivo é ver como a transformação
age nos vetores da base
e expressar esses resultados na base
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformação
em cada um dos vetores da base
. Primeiro, aplicamos
em
:
Agora, aplicamos
em
:
Passo 4
Agora, precisamos expressar esses resultados
e
na base
. Isso significa que vamos encontrar coeficientes
e
tais que:
Vamos resolver para cada vetor.
Para
:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
então
.
Para
:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
então
.
Passo 5
Os coeficientes que encontramos representam as coordenadas dos vetores transformados na base
. Assim, temos:
Resposta
A matriz da transformação
em relação às bases
e
é