Considere duas bases de R^2 dadas por
beta=(-1,1),(2,1) e beta^prime=(1,-1),(1,0)
Seja T: R^2 longrightarrow R^2 uma transformação linear dada por
T(x, y)=(x+y, 2 x-y)
Determine a matriz
[T]beta^prime^beta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz da transformação linear de para em relação às bases e . A transformação é dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar usando as bases fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases. A base é formada pelos vetores e , e a base é formada por e . Nosso objetivo é ver como a transformação age nos vetores da base e expressar esses resultados na base .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação T(-1, 1) = (-1 + 1, 2(-1) - 1) = (0, -3) em cada um dos vetores da base T(2, 1) = (2 + 1, 2(2) - 1) = (3, 3) . Primeiro, aplicamos em :
Agora, aplicamos em :

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses resultados (0, -3) = a(1, -1) + b(1, 0) e (3, 3) = a(1, -1) + b(1, 0) na base a + b = 0 - a = -3 . Isso significa que vamos encontrar coeficientes a + b = 3 - a = 3 e tais que:
Vamos resolver para cada vetor.
Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, então .
Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, então .

Passo 5

Os coeficientes que encontramos representam as coordenadas dos vetores transformados na base [T]beta'^beta = 3 & -3 -3 & 6 . Assim, temos:

Resposta

A matriz da transformação [T]beta'^beta = 3 & -3 -3 & 6 em relação às bases e é

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