Considere duas bases de dadas por
Seja uma transformação linear dada por
Determine a matriz

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a matriz da transformação linear de para em relação às bases e . A transformação é dada por . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar usando as bases fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases. A base é formada pelos vetores e , e a base é formada por e . Nosso objetivo é ver como a transformação age nos vetores da base e expressar esses resultados na base .

Passo 3

Vamos aplicar a transformação em cada um dos vetores da base . Primeiro, aplicamos em :
Agora, aplicamos em :

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses resultados e na base . Isso significa que vamos encontrar coeficientes e tais que:
Vamos resolver para cada vetor.
Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, então .
Para :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira, então .

Passo 5

Os coeficientes que encontramos representam as coordenadas dos vetores transformados na base . Assim, temos:

Resposta

A matriz da transformação em relação às bases e é

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Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores e , calcular:
d)
4)[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos e . Denote por , e seus raios.
i) Supondo que mostre que a área do triângulo é igual a .
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo é igual a
Considere o vetor e encontre , onde , onde é um vetor de 1