4)[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos
e
. Denote por
,
e
seus raios.
i) Supondo que
mostre que a área do triângulo
é igual a
.
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo
é igual a
i) Supondo que
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três esferas que são mutuamente tangentes, ou seja, cada uma toca as outras duas. Elas estão centradas nos pontos
,
e
, com raios
,
e
respectivamente. A gente precisa encontrar a área do triângulo formado por esses três pontos de centro. Primeiro, vamos resolver o caso onde todos os raios são iguais (
) e depois generalizar para raios diferentes. Para isso, vamos usar um pouco de geometria sobre triângulos e a relação entre os lados e a área.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro ponto:
. Como as esferas são mutuamente tangentes, a distância entre os centros de duas esferas quaisquer é a soma dos raios delas. Então, a distância entre
e
é
, e o mesmo vale para
e
.
Passo 3
Com isso, percebemos que o triângulo
é um triângulo equilátero, já que todos os lados têm a mesma medida:
. Para encontrar a área de um triângulo equilátero, podemos usar a fórmula:
Passo 4
Substituindo o valor do lado por
:
Passo 5
Agora, vamos para o caso geral onde
,
e
podem ser diferentes. A distância entre os centros das esferas não é mais a mesma para todos os lados. A distância entre
e
será
, entre
e
será
, e entre
e
será
.
Passo 6
Para encontrar a área de um triângulo com lados de medidas diferentes, podemos usar a fórmula de Herão. Primeiro, calculamos o semiperímetro
:
Passo 7
A fórmula de Herão para a área é:
onde
,
e
.
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula:
Isso simplifica para:
Resposta
No caso geral, a área do triângulo
é igual a
.
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, onde
, onde
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