4)[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos e . Denote por , e seus raios.
i) Supondo que mostre que a área do triângulo é igual a .
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo é igual a

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três esferas que são mutuamente tangentes, ou seja, cada uma toca as outras duas. Elas estão centradas nos pontos , e , com raios , e respectivamente. A gente precisa encontrar a área do triângulo formado por esses três pontos de centro. Primeiro, vamos resolver o caso onde todos os raios são iguais ( ) e depois generalizar para raios diferentes. Para isso, vamos usar um pouco de geometria sobre triângulos e a relação entre os lados e a área.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro ponto: . Como as esferas são mutuamente tangentes, a distância entre os centros de duas esferas quaisquer é a soma dos raios delas. Então, a distância entre e é , e o mesmo vale para e .

Passo 3

Com isso, percebemos que o triângulo é um triângulo equilátero, já que todos os lados têm a mesma medida: . Para encontrar a área de um triângulo equilátero, podemos usar a fórmula:
Á

Passo 4

Substituindo o valor do lado por :
Á

Passo 5

Agora, vamos para o caso geral onde , e podem ser diferentes. A distância entre os centros das esferas não é mais a mesma para todos os lados. A distância entre e será , entre e será , e entre e será .

Passo 6

Para encontrar a área de um triângulo com lados de medidas diferentes, podemos usar a fórmula de Herão. Primeiro, calculamos o semiperímetro :

Passo 7

A fórmula de Herão para a área é:
Á
onde , e .

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula:
Á
Isso simplifica para:
Á

Resposta

No caso geral, a área do triângulo é igual a .

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