4)[Desafio] Considere três esferas mutuamente tangentes centradas nos pontos P1, P2 e P3. Denote por r1, r2 e r3 seus raios.
i) Supondo que r1=r2=r3 mostre que a área do triângulo P1 P2 P3 é igual a raiz3 r^2.
[^0]ii) No caso geral mostre que a área do triângulo P1 P2 P3 é igual a
raizr1 r2 r3(r1+r2+r3))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos três esferas que são mutuamente tangentes, ou seja, cada uma toca as outras duas. Elas estão centradas nos pontos , e , com raios , e respectivamente. A gente precisa encontrar a área do triângulo formado por esses três pontos de centro. Primeiro, vamos resolver o caso onde todos os raios são iguais ( ) e depois generalizar para raios diferentes. Para isso, vamos usar um pouco de geometria sobre triângulos e a relação entre os lados e a área.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro ponto: . Como as esferas são mutuamente tangentes, a distância entre os centros de duas esferas quaisquer é a soma dos raios delas. Então, a distância entre e é , e o mesmo vale para e .

Passo 3

Com isso, percebemos que o triângulo Área = raiz34 times lado^2 é um triângulo equilátero, já que todos os lados têm a mesma medida: . Para encontrar a área de um triângulo equilátero, podemos usar a fórmula:
Á

Passo 4

Substituindo o valor do lado por Área = raiz34 times (2r)^2 = raiz34 times 4r^2 = raiz3 , r^2 :
Á

Passo 5

Agora, vamos para o caso geral onde , e podem ser diferentes. A distância entre os centros das esferas não é mais a mesma para todos os lados. A distância entre e será , entre e será , e entre e será .

Passo 6

Para encontrar a área de um triângulo com lados de medidas diferentes, podemos usar a fórmula de Herão. Primeiro, calculamos o semiperímetro s = (r1 + r2) + (r2 + r3) + (r3 + r1)2 = r1 + r2 + r3 :

Passo 7

A fórmula de Herão para a área é:
Área = raizs (s - a) (s - b) (s - c) Á
onde , e .

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula:
Área = raiz(r1 + r2 + r3) ( (r1 + r2 + r3) - (r1 + r2) ) ( (r1 + r2 + r3) - (r2 + r3) ) ( (r1 + r2 + r3) - (r3 + r1) ) Á
Isso simplifica para:
Área = raiz(r1 + r2 + r3) cdot r3 cdot r1 cdot r2 = raizr1 r2 r3 (r1 + r2 + r3) Á

Resposta

No caso geral, a área do triângulo é igual a .

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