1. Considere o elipsóide definido por
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
Considere 4 pontos Pi pertencentes ao elipsóide e esboce os seus planos tangentes. Calcule também as interseções dos planos tangentes e analise as 6 retas obtidas dessas interseções. Dizer quais são concorrentes, quais são reversas e quais são paralelas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elipsóide, que é uma superfície tridimensional parecida com uma esfera, mas alongada em algumas direções. A equação dada é:
x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1
Precisamos considerar 4 pontos que estão nesse elipsóide, desenhar os planos tangentes a esses pontos, calcular onde esses planos se cruzam e analisar as 6 retas resultantes dessas interseções para determinar se elas são concorrentes, reversas ou paralelas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como planos tangentes a superfícies e interseção de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente a um elipsóide. Um plano tangente em um ponto específico de uma superfície é um plano que “encosta” na superfície apenas naquele ponto, sem cortá-la. Para encontrar a equação de um plano tangente ao elipsóide em um ponto x0a^2(x - x0) + y0b^2(y - y0) + z0c^2(z - z0) = 0 , usamos a seguinte fórmula derivada da derivada implícita:
x x0a^2 + y y0b^2 + z z0c^2 = 1
Simplificando, a equação do plano tangente fica:

Passo 3

Vamos agora escolher 4 pontos no elipsóide. Para simplificar os cálculos, vamos escolher pontos onde apenas uma das coordenadas é diferente de zero. Por exemplo:
  1. a^2a^2 + b^2b^2 + c^2c^2 = 1 + 1 + 1 = 3 ne 1
  2. (araiz3)^2a^2 + (braiz3)^2b^2 + (craiz3)^2c^2 = 13 + 13 + 13 = 1
  3. – embora este último precise satisfazer a equação do elipsóide.
Verificando o ponto :
Então, não pertence ao elipsóide. Vamos escolher outro ponto que satisfaça a equação, por exemplo, :
Então, os 4 pontos escolhidos são:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as equações dos planos tangentes em cada um desses pontos usando a fórmula que derivamos:
Para a cdot xa^2 + 0 cdot yb^2 + 0 cdot zc^2 = 1 implies xa = 1 implies x = a :
0 cdot xa^2 + b cdot yb^2 + 0 cdot zc^2 = 1 implies yb = 1 implies y = b
Então, o plano tangente em 0 cdot xa^2 + 0 cdot yb^2 + c cdot zc^2 = 1 implies zc = 1 implies z = c é araiz3 cdot xa^2 + braiz3 cdot yb^2 + craiz3 cdot zc^2 = 1 implies xa raiz3 + yb raiz3 + zc raiz3 = 1 implies xa + yb + zc = raiz3 .
Para :
Então, o plano tangente em é .
Para :
Então, o plano tangente em é .
Para :
Então, o plano tangente em é .

Passo 5

Agora que temos os quatro planos tangentes:
  1. x = a y = b z = t (t in R)
  2. x = a y = t z = c
  3. x = t y = b z = c
  4. aa + yb + zc = 1 + yb + zc = raiz3 implies yb + zc = raiz3 - 1
Vamos encontrar as interseções entre cada par de planos. Como temos 4 planos, teremos y = b(raiz3 - 1 - zc) interseções, formando 6 retas.
Vamos calcular cada uma:
  1. Interseção entre x = a y = b(raiz3 - 1) - bct z = t e xa + bb + zc = xa + 1 + zc = raiz3 implies xa + zc = raiz3 - 1 :
    • x = a(raiz3 - 1 - zc) , x = a(raiz3 - 1) - act y = b z = t
    • Substituindo em qualquer dos planos, por exemplo, no plano 1: xa + yb + cc = xa + yb + 1 = raiz3 implies xa + yb = raiz3 - 1
    • A variável y = b(raiz3 - 1 - xa) é livre, então a reta é x = t y = b(raiz3 - 1) - bat z = c , que pode ser representada parametricamente como:
  2. Interseção entre e :
    • ,
    • A variável é livre, então a reta é , representada por:
  3. Interseção entre e :
    • ,
    • A variável é livre, então a reta é , representada por:
  4. Interseção entre e :
    • Substituindo na equação do plano:
    • Vamos resolver para em termos de :
    • A reta pode ser parametrizada com :
  5. Interseção entre e :
    • Substituindo na equação do plano:
    • Vamos resolver para em termos de :
    • A reta pode ser parametrizada com :
  6. Interseção entre e :
    • Substituindo na equação do plano:
    • Vamos resolver para em termos de :
    • A reta pode ser parametrizada com :

Passo 6

Agora, temos as 6 retas resultantes das interseções dos planos tangentes:
  1. Reta 1: b = b(raiz3 - 1) - bcc implies b = b(raiz3 - 1) - b implies b + b = b(raiz3 - 1) implies 2b = b(raiz3 - 1) implies 2 = raiz3 - 1 implies raiz3 = 3 , a = a(raiz3 - 1) - act implies act = a(raiz3 - 1) - a implies t = c(raiz3 - 2) , b = b(raiz3 - 1) - bcc(raiz3 - 2) implies b = b(raiz3 - 1) - b(raiz3 - 2) implies b = b(raiz3 - 1 - raiz3 + 2) implies b = b(1) implies b = b
  2. Reta 2: , ,
  3. Reta 3: , ,
  4. Reta 4: , ,
  5. Reta 5: , ,
  6. Reta 6: , ,
Vamos analisar cada par de retas para determinar se são concorrentes (intersectam-se em um ponto), reversas (não se intersectam e não são paralelas) ou paralelas.
Análise:
  • Reta 1 e Reta 2: Ambas têm . Reta 1 tem , enquanto Reta 2 tem . Se substituirmos , na equação da Reta 2, vemos que deve ser , que já está especificado. Isso significa que as duas retas se intersectam no ponto . Portanto, são concorrentes.
  • Reta 1 e Reta 3: Reta 1 tem , e varia. Reta 3 tem , e varia. Para encontrar um ponto comum, , , então . Portanto, elas se intersectam no ponto . São concorrentes.
  • Reta 1 e Reta 4: Reta 1 tem , e varia. Reta 4 tem , , . Para serem coincidentes, teriam que ter as mesmas expressões para e , o que não ocorre. Além disso, como ambas têm , mas diferentes expressões para e , elas são paralelas.
  • Reta 1 e Reta 5: Reta 1: , , . Reta 5: , , . Para terem pontos em comum, deveria ser e . A menos que , o que não é, não há solução para . Portanto, são reversas.
  • Reta 1 e Reta 6: Reta 1: , , . Reta 6: , , . Para ter um ponto em comum, , . Isso implicaria , o que não necessariamente é verdadeiro. Portanto, são reversas.
Continuando com os outros pares:
  • Reta 2 e Reta 3: Reta 2: , , . Reta 3: , , . Para terem um ponto comum, , , e . Isso só seria possível se , o que não é necessariamente verdade. Portanto, são reversas.
  • Reta 2 e Reta 4: Reta 2: , , . Reta 4: , , . Para terem um ponto comum, , , então substituindo na Reta 4: . Então, ponto de intersecção seria . Portanto, as retas se intersectam e são concorrentes.
  • Reta 2 e Reta 5: Reta 2: , , . Reta 5: , , . Para terem um ponto comum, , , . Isso implicaria e , o que só seria possível se , o que não é. Portanto, são reversas.
  • Reta 3 e Reta 4: Reta 3: , , . Reta 4: , , . Para terem um ponto comum, , , então:
    O que não é verdadeiro. Portanto, são reversas.
  • Reta 3 e Reta 5: Reta 3: , , . Reta 5: , , . Para terem um ponto comum, , , então . Assim, o ponto seria . Portanto, as retas se intersectam e são concorrentes.
  • Reta 4 e Reta 5: Reta 4: , , . Reta 5: , , . Para terem um ponto comum, , então:
    e
    Resolvendo a primeira equação:
    Substituindo na segunda equação:
    Portanto, as retas se intersectam no ponto ( (a, b, c(\sqrt{3} - 2)) \ ). São concorrentes.
  • Reta 4 e Reta 6: Reta 4: , , . Reta 6: , , . Para terem um ponto comum, , então:
    E também da Reta 4 deve ser igual a da Reta 6, o que implica , o que não necessariamente é verdadeiro. Portanto, são reversas.
  • Reta 5 e Reta 6: Reta 5: , , . Reta 6: , , . Para terem um ponto comum, , então:
    E
    Isso implica , ou seja, . A menos que , o que não necessariamente é verdadeiro, as retas não se intersectam. Portanto, são reversas.

Resposta

As 6 retas obtidas das interseções dos planos tangentes são:
  1. Reta 1: Concorrente com as retas 2, 3, 4 e 5 no ponto .
  2. Reta 2: Reversa com as retas 3, 5 e 6; concorrente com a reta 4 no ponto .
  3. Reta 3: Reversa com as retas 1, 4 e 6; concorrente com a reta 2 no ponto .
  4. Reta 4: Paralela à reta 5; concorrente com as retas 1, 2 e 6.
  5. Reta 5: Paralela à reta 4; concorrente com as retas 1, 3 e 6.
  6. Reta 6: Reversa com as retas 1, 2, 3 e 5; concorrente com a reta 4 no ponto .
Em resumo:
  • Retas concorrentes: Várias retas se encontram em pontos específicos.
  • Retas reversas: Retas que não se intersectam e não são paralelas.
  • Retas paralelas: Retas que nunca se encontram e mantêm a mesma direção.

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