- Considere o elipsóide definido por
Considere 4 pontos
pertencentes ao elipsóide e esboce os seus planos tangentes. Calcule também as interseções dos planos tangentes e analise as 6 retas obtidas dessas interseções. Dizer quais são concorrentes, quais são reversas e quais são paralelas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elipsóide, que é uma superfície tridimensional parecida com uma esfera, mas alongada em algumas direções. A equação dada é:
Precisamos considerar 4 pontos que estão nesse elipsóide, desenhar os planos tangentes a esses pontos, calcular onde esses planos se cruzam e analisar as 6 retas resultantes dessas interseções para determinar se elas são concorrentes, reversas ou paralelas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, como planos tangentes a superfícies e interseção de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente a um elipsóide. Um plano tangente em um ponto específico de uma superfície é um plano que “encosta” na superfície apenas naquele ponto, sem cortá-la. Para encontrar a equação de um plano tangente ao elipsóide em um ponto
, usamos a seguinte fórmula derivada da derivada implícita:
Simplificando, a equação do plano tangente fica:
Passo 3
Vamos agora escolher 4 pontos no elipsóide. Para simplificar os cálculos, vamos escolher pontos onde apenas uma das coordenadas é diferente de zero. Por exemplo:
-
-
-
-
– embora este último precise satisfazer a equação do elipsóide.
Verificando o ponto
:
Então,
não pertence ao elipsóide. Vamos escolher outro ponto que satisfaça a equação, por exemplo,
:
Então, os 4 pontos escolhidos são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as equações dos planos tangentes em cada um desses pontos usando a fórmula que derivamos:
Para
:
Então, o plano tangente em
é
.
Para
:
Então, o plano tangente em
é
.
Para
:
Então, o plano tangente em
é
.
Para
:
Então, o plano tangente em
é
.
Passo 5
Agora que temos os quatro planos tangentes:
Vamos encontrar as interseções entre cada par de planos. Como temos 4 planos, teremos
interseções, formando 6 retas.
Vamos calcular cada uma:
-
Interseção entre
e : -
, - Substituindo em qualquer dos planos, por exemplo, no plano 1:
- A variável
é livre, então a reta é , que pode ser representada parametricamente como:
-
-
Interseção entre
e :-
, - A variável
é livre, então a reta é , representada por:
-
-
Interseção entre
e :-
, - A variável
é livre, então a reta é , representada por:
-
-
Interseção entre
e :-
- Substituindo na equação do plano:
- Vamos resolver para
em termos de : - A reta pode ser parametrizada com
:
-
-
Interseção entre
e :-
- Substituindo na equação do plano:
- Vamos resolver para
em termos de : - A reta pode ser parametrizada com
:
-
-
Interseção entre
e :-
- Substituindo na equação do plano:
- Vamos resolver para
em termos de : - A reta pode ser parametrizada com
:
-
Passo 6
Agora, temos as 6 retas resultantes das interseções dos planos tangentes:
- Reta 1:
,b = b(raiz3 - 1) - bcc implies b = b(raiz3 - 1) - b implies b + b = b(raiz3 - 1) implies 2b = b(raiz3 - 1) implies 2 = raiz3 - 1 implies raiz3 = 3 ,a = a(raiz3 - 1) - act implies act = a(raiz3 - 1) - a implies t = c(raiz3 - 2) b = b(raiz3 - 1) - bcc(raiz3 - 2) implies b = b(raiz3 - 1) - b(raiz3 - 2) implies b = b(raiz3 - 1 - raiz3 + 2) implies b = b(1) implies b = b - Reta 2:
, , - Reta 3:
, , - Reta 4:
, , - Reta 5:
, , - Reta 6:
, ,
Vamos analisar cada par de retas para determinar se são concorrentes (intersectam-se em um ponto), reversas (não se intersectam e não são paralelas) ou paralelas.
Análise:
-
Reta 1 e Reta 2: Ambas têm
. Reta 1 tem , enquanto Reta 2 tem . Se substituirmos , na equação da Reta 2, vemos que deve ser , que já está especificado. Isso significa que as duas retas se intersectam no ponto . Portanto, são concorrentes. -
Reta 1 e Reta 3: Reta 1 tem
, e varia. Reta 3 tem , e varia. Para encontrar um ponto comum, , , então . Portanto, elas se intersectam no ponto . São concorrentes. -
Reta 1 e Reta 4: Reta 1 tem
, e varia. Reta 4 tem , , . Para serem coincidentes, teriam que ter as mesmas expressões para e , o que não ocorre. Além disso, como ambas têm , mas diferentes expressões para e , elas são paralelas. -
Reta 1 e Reta 5: Reta 1:
, , . Reta 5: , , . Para terem pontos em comum, deveria ser e . A menos que , o que não é, não há solução para . Portanto, são reversas. -
Reta 1 e Reta 6: Reta 1:
, , . Reta 6: , , . Para ter um ponto em comum, , . Isso implicaria , o que não necessariamente é verdadeiro. Portanto, são reversas.
Continuando com os outros pares:
-
Reta 2 e Reta 3: Reta 2:
, , . Reta 3: , , . Para terem um ponto comum, , , e . Isso só seria possível se , o que não é necessariamente verdade. Portanto, são reversas. -
Reta 2 e Reta 4: Reta 2:
, , . Reta 4: , , . Para terem um ponto comum, , , então substituindo na Reta 4: . Então, ponto de intersecção seria . Portanto, as retas se intersectam e são concorrentes. -
Reta 2 e Reta 5: Reta 2:
, , . Reta 5: , , . Para terem um ponto comum, , , . Isso implicaria e , o que só seria possível se , o que não é. Portanto, são reversas. -
Reta 3 e Reta 4: Reta 3:
, , . Reta 4: , , . Para terem um ponto comum, , , então:O que não é verdadeiro. Portanto, são reversas. -
Reta 3 e Reta 5: Reta 3:
, , . Reta 5: , , . Para terem um ponto comum, , , então . Assim, o ponto seria . Portanto, as retas se intersectam e são concorrentes. -
Reta 4 e Reta 5: Reta 4:
, , . Reta 5: , , . Para terem um ponto comum, , então:eResolvendo a primeira equação:Substituindo na segunda equação:Portanto, as retas se intersectam no ponto ( (a, b, c(\sqrt{3} - 2)) \ ). São concorrentes. -
Reta 4 e Reta 6: Reta 4:
, , . Reta 6: , , . Para terem um ponto comum, , então:E também da Reta 4 deve ser igual a da Reta 6, o que implica , o que não necessariamente é verdadeiro. Portanto, são reversas. -
Reta 5 e Reta 6: Reta 5:
, , . Reta 6: , , . Para terem um ponto comum, , então:EIsso implica , ou seja, . A menos que , o que não necessariamente é verdadeiro, as retas não se intersectam. Portanto, são reversas.
Resposta
As 6 retas obtidas das interseções dos planos tangentes são:
- Reta 1: Concorrente com as retas 2, 3, 4 e 5 no ponto
. - Reta 2: Reversa com as retas 3, 5 e 6; concorrente com a reta 4 no ponto
. - Reta 3: Reversa com as retas 1, 4 e 6; concorrente com a reta 2 no ponto
. - Reta 4: Paralela à reta 5; concorrente com as retas 1, 2 e 6.
- Reta 5: Paralela à reta 4; concorrente com as retas 1, 3 e 6.
- Reta 6: Reversa com as retas 1, 2, 3 e 5; concorrente com a reta 4 no ponto
.
Em resumo:
- Retas concorrentes: Várias retas se encontram em pontos específicos.
- Retas reversas: Retas que não se intersectam e não são paralelas.
- Retas paralelas: Retas que nunca se encontram e mantêm a mesma direção.