Considere duas esferas com cargas positivas Q=4 nC, situadas no plano cartesiano nas seguintes posições (-4 ;-4) e (4 ; 3)(cm ; cm). Calcule o módulo, direção e sentido da força eletrostática que age numa terceira esfera situada na origem do sistema e com carga de -3 nC .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas esferas carregadas positivamente com carga Q = 4 , nC, localizadas nos pontos (-4; -4) cm e (4; 3) cm no plano cartesiano. Além disso, tem uma terceira esfera na origem (0; 0) com carga de -3 , nC. Nosso objetivo é calcular o módulo, a direção e o sentido da força eletrostática que age nessa esfera na origem. Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica entre duas cargas pontuais é dada por:
F = ke |Q1 cdot Q2|r^2
Onde:
  • F é a força eletrostática,
  • ke é a constante eletrostática ( 8,988 times 10^9 , N cdot m^2/C^2),
  • Q1 e Q2 são as cargas,
  • r é a distância entre as cargas.
Vamos calcular a força exercida por cada esfera carregada positivamente na esfera na origem.

Passo 3

Vamos calcular a força exercida pela primeira carga localizada em (-4; -4) cm. Primeiro, precisamos encontrar a distância dessa carga até a origem:
r1 = raiz(-4)^2 + (-4)^2 = raiz16 + 16 = raiz32 approx 5,66 , cm = 0,0566 , m
Agora, aplicando a Lei de Coulomb:
F1 = ke |Q cdot Q0|r1^2 = 8,988 times 10^9 |4 times 10^-9 cdot (-3 times 10^-9)|(0,0566)^2
Calculando o valor:
F1 = 8,988 times 10^9 12 times 10^-180,00321 approx 8,988 times 10^9 times 3,744 times 10^-15 approx 3,364 times 10^-5 , N

Passo 4

A direção da força F1 é determinada pelo fato de que cargas opostas se atraem. Como a carga na origem é negativa e a carga nas coordenadas (-4; -4) é positiva, a força F1 direciona-se da origem para (-4; -4).
Vamos expressar essa força em componentes x e y. O ângulo formado com o eixo x é de 45^circ (porque as coordenadas são iguais em módulo e sinais). Assim:
F1x = F1 cos(45^circ) approx 3,364 times 10^-5 times 0,7071 approx 2,378 times 10^-5 , N , (negativa)
F1y = F1 sin(45^circ) approx 3,364 times 10^-5 times 0,7071 approx 2,378 times 10^-5 , N , (negativa)

Passo 5

Agora, vamos calcular a força exercida pela segunda carga localizada em (4; 3) cm. Primeiro, encontramos a distância até a origem:
r2 = raiz4^2 + 3^2 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 , cm = 0,05 , m
Aplicando a Lei de Coulomb:
F2 = ke |Q cdot Q0|r2^2 = 8,988 times 10^9 |4 times 10^-9 cdot (-3 times 10^-9)|(0,05)^2
Calculando o valor:
F2 = 8,988 times 10^9 12 times 10^-180,0025 = 8,988 times 10^9 times 4,8 times 10^-15 approx 4,315 times 10^-5 , N

Passo 6

A direção da força F2 também é determinada pela atração entre cargas opostas. A força F2 direciona-se da origem para (4; 3) cm.
Vamos decompor em componentes x e y. O ângulo theta com o eixo x pode ser encontrado por:
theta = arctan(34) approx 36,87^circ
Então:
F2x = F2 cos(36,87^circ) approx 4,315 times 10^-5 times 0,8 approx 3,452 times 10^-5 , N , (positiva)
F2y = F2 sin(36,87^circ) approx 4,315 times 10^-5 times 0,6 approx 2,589 times 10^-5 , N , (positiva)

Passo 7

Agora, somamos as forças em cada direção:
Para o eixo x:
Fx = F1x + F2x = (-2,378 times 10^-5) + 3,452 times 10^-5 = 1,074 times 10^-5 , N
Para o eixo y:
Fy = F1y + F2y = (-2,378 times 10^-5) + 2,589 times 10^-5 = 2,11 times 10^-6 , N

Passo 8

Finalmente, calculamos o módulo da força resultante usando o Teorema de Pitágoras:
F = raizFx^2 + Fy^2 = raiz(1,074 times 10^-5)^2 + (2,11 times 10^-6)^2 approx raiz1,155 times 10^-10 + 4,45 times 10^-12 approx raiz1,199 times 10^-10 approx 1,095 times 10^-5 , N
Para encontrar a direção, calculamos o ângulo phi:
phi = arctan(FyFx) = arctan(2,11 times 10^-61,074 times 10^-5) approx 11,2^circ , acima do eixo x

Resposta

A força eletrostática que age na esfera na origem tem módulo de aproximadamente 1,10 times 10^-5 , N, direcionada a 11,2^circ acima do eixo x positivo.

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