Desenvolva a fórmula matemática geral da linearização de sistemas, usando séries de Taylor, e aplique a transformada de Laplace na fórmula obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenvolver a fórmula geral da linearização de sistemas usando séries de Taylor e depois aplicar a transformada de Laplace nessa fórmula. Então, vamos precisar entender um pouquinho sobre essas três coisas: linearização, séries de Taylor e transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre linearização. Quando temos um sistema não-linear, pode ser difícil de analisar. A linearização é uma técnica que aproxima esse sistema por um sistema linear, facilitando os cálculos. Para isso, usamos a série de Taylor para expandir a função em torno de um ponto de equilíbrio.

Passo 3

A série de Taylor é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. Para linearizar, só precisamos dos primeiros termos dessa série. Suponha que temos uma função expandida em torno de :
Esse é o termo constante e o termo linear da série de Taylor.

Passo 4

Aplicando isso a um sistema dinâmico, por exemplo, , linearizamos em torno de um ponto de equilíbrio , onde . Então, a equação linearizada fica:
Podemos reescrever isso como:
onde é a derivada avaliada no ponto de equilíbrio.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação linearizada. A transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a transformada de e é a condição inicial.
Aplicando a transformada na equação :

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Resposta

A fórmula geral da linearização de sistemas utilizando séries de Taylor, linearizada em torno do ponto de equilíbrio , e com a aplicação da transformada de Laplace, resulta em:

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