Desenvolva a fórmula matemática geral da linearização de sistemas, usando séries de Taylor, e aplique a transformada de Laplace na fórmula obtida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenvolver a fórmula geral da linearização de sistemas usando séries de Taylor e depois aplicar a transformada de Laplace nessa fórmula. Então, vamos precisar entender um pouquinho sobre essas três coisas: linearização, séries de Taylor e transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre linearização. Quando temos um sistema não-linear, pode ser difícil de analisar. A linearização é uma técnica que aproxima esse sistema por um sistema linear, facilitando os cálculos. Para isso, usamos a série de Taylor para expandir a função em torno de um ponto de equilíbrio.
Passo 3
A série de Taylor é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. Para linearizar, só precisamos dos primeiros termos dessa série. Suponha que temos uma função
expandida em torno de
:
Esse é o termo constante e o termo linear da série de Taylor.
Passo 4
Aplicando isso a um sistema dinâmico, por exemplo,
, linearizamos em torno de um ponto de equilíbrio
, onde
. Então, a equação linearizada fica:
Podemos reescrever isso como:
onde
é a derivada avaliada no ponto de equilíbrio.
Passo 5
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação linearizada. A transformada de Laplace de uma derivada
é
, onde
é a transformada de
e
é a condição inicial.
Aplicando a transformada na equação
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A fórmula geral da linearização de sistemas utilizando séries de Taylor, linearizada em torno do ponto de equilíbrio
, e com a aplicação da transformada de Laplace, resulta em: