Considere duas esferas condutoras bem separadas, 1 e 2 , a segunda tendo duas vezes o diâmetro da primeira. A esfera menor inicialmente tem uma carga positiva q e a maior está inicialmente descarregada. Conecta-se, então, as duas esferas através de um fio longo e fino. (a) Quais são os potenciais finais V1 e V2 das esferas em questão ? (b) Encontre as cargas finais q1 e q2 sobre as esferas em termos de q.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos duas esferas condutoras, a esfera 1 e a esfera 2. A esfera 2 tem o diâmetro duas vezes maior que o da esfera 1. Inicialmente, a esfera 1 tem uma carga positiva $ q $ e a esfera 2 está sem carga. Quando conectamos as duas esferas com um fio, as cargas vão redistribuir para que os potenciais elétricos das duas esferas fiquem iguais.
Conteúdo da matéria envolvido:
  • Potencial elétrico de uma esfera condutora: $ V = \frac{kQ}{R} $, onde $ V $ é o potencial, $ k $ é a constante eletrostática, $ Q $ é a carga e $ R $ é o raio da esfera.
  • Distribuição de carga em condutores conectados: Quando dois condutores são conectados por um fio, eles compartilham carga até que seus potenciais sejam iguais.
Vamos precisar dessas fórmulas e entender como aplicar a igualdade de potenciais para encontrar $ V_1 $ e $ V_2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar os raios das esferas. Sabemos que a esfera 2 tem o diâmetro duas vezes maior que a esfera 1. Como o raio é metade do diâmetro, isso significa que:
R2 = 2R1

Passo 3

Agora, vamos escrever as expressões para os potenciais das duas esferas. Usando a fórmula do potencial elétrico:
V1 = k q1R1
V2 = k q2R2
Aqui, $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas finais nas esferas 1 e 2, respectivamente.

Passo 4

Quando conectamos as duas esferas com um fio, os potenciais se igualam. Portanto:
V1 = V2
Substituindo as expressões dos potenciais:
k q1R1 = k q2R2
Podemos simplificar $ k $ de ambos os lados:
k

Passo 5

Substituindo $ R_2 = 2R_1 $ na equação acima:
R2 = 2R1
Simplificando $ R_1 $:
q1R1 = q22R1
Isso nos mostra que a carga na esfera 1 é metade da carga na esfera 2 após a redistribuição.

Passo 6

Sabemos que a carga total antes de conectar as esferas é $ q $ (apenas na esfera 1). Após a redistribuição, essa carga se divide entre as duas esferas:
q
Substituindo $ q_1 = \frac{q_2}{2} $:
q1 + q2 = q
q1 = q22
q22 + q2 = q

Passo 7

Agora que temos $ q_2 $, podemos encontrar $ q_1 $:
q2

Passo 8

Com as cargas finais $ q_1 = \frac{q}{3} $ e $ q_2 = \frac{2q}{3} $, podemos calcular os potenciais finais usando a fórmula do potencial elétrico:
q1 = q3
q2 = 2q3

Resposta

Após a conexão, os potenciais finais das esferas são iguais e valem:
V1 = V2 = k q3 R1
As cargas finais sobre as esferas são:
q1 = q3
q2 = 2q3

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