Considere duas esferas condutoras bem separadas, 1 e 2 , a segunda tendo duas vezes o diâmetro da primeira. A esfera menor inicialmente tem uma carga positiva q e a maior está inicialmente descarregada. Conecta-se, então, as duas esferas através de um fio longo e fino. (a) Quais são os potenciais finais
e
das esferas em questão ? (b) Encontre as cargas finais
e
sobre as esferas em termos de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos duas esferas condutoras, a esfera 1 e a esfera 2. A esfera 2 tem o diâmetro duas vezes maior que o da esfera 1. Inicialmente, a esfera 1 tem uma carga positiva $ q $ e a esfera 2 está sem carga. Quando conectamos as duas esferas com um fio, as cargas vão redistribuir para que os potenciais elétricos das duas esferas fiquem iguais.
Conteúdo da matéria envolvido:
- Potencial elétrico de uma esfera condutora: $ V = \frac{kQ}{R} $, onde $ V $ é o potencial, $ k $ é a constante eletrostática, $ Q $ é a carga e $ R $ é o raio da esfera.
- Distribuição de carga em condutores conectados: Quando dois condutores são conectados por um fio, eles compartilham carga até que seus potenciais sejam iguais.
Vamos precisar dessas fórmulas e entender como aplicar a igualdade de potenciais para encontrar $ V_1 $ e $ V_2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar os raios das esferas. Sabemos que a esfera 2 tem o diâmetro duas vezes maior que a esfera 1. Como o raio é metade do diâmetro, isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos escrever as expressões para os potenciais das duas esferas. Usando a fórmula do potencial elétrico:
Aqui, $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas finais nas esferas 1 e 2, respectivamente.
Passo 4
Quando conectamos as duas esferas com um fio, os potenciais se igualam. Portanto:
Substituindo as expressões dos potenciais:
Podemos simplificar $ k $ de ambos os lados:
Passo 5
Substituindo $ R_2 = 2R_1 $ na equação acima:
Simplificando $ R_1 $:
Isso nos mostra que a carga na esfera 1 é metade da carga na esfera 2 após a redistribuição.
Passo 6
Sabemos que a carga total antes de conectar as esferas é $ q $ (apenas na esfera 1). Após a redistribuição, essa carga se divide entre as duas esferas:
Substituindo $ q_1 = \frac{q_2}{2} $:
Passo 7
Agora que temos $ q_2 $, podemos encontrar $ q_1 $:
Passo 8
Com as cargas finais $ q_1 = \frac{q}{3} $ e $ q_2 = \frac{2q}{3} $, podemos calcular os potenciais finais usando a fórmula do potencial elétrico:
Resposta
Após a conexão, os potenciais finais das esferas são iguais e valem:
As cargas finais sobre as esferas são: