Um tratamento baseado na mecânica quântica para o átomo de hidrogênio mostra que o elétron no átomo pode ser tratado como uma distribuição espalhada de carga negativa da forma rho=-rhoo e^-2 r / a, onde r representa a distância ao centro do núcleo e a o raio de Bohr. Calcule: a) rhoo; b) o campo elétrico a uma distância r do centro do núcleo. (Resp. a) rhoo=-epi a^3 ; b) E=e4 pi epsilono r^2[1-(1+2 ra+2 r^2a^2) e^-2 r / a])

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de mecânica quântica aplicado ao átomo de hidrogênio. O elétron é descrito por uma distribuição de carga negativa dada por rho = -rhoo e^-2 r / a, onde r é a distância do núcleo e a é o raio de Bohr. Precisamos calcular duas coisas:
a) O valor de rhoo;
b) O campo elétrico E em uma distância r do núcleo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de carga elétrica e campo elétrico, além de integrar a densidade de carga para encontrar rhoo.

Passo 2

Vamos começar calculando rhoo. Sabemos que a carga total do elétron deve ser igual a -e. Então, vamos integrar a densidade de carga rho sobre todo o espaço e igualar a -e.
A densidade de carga é dada por:
rho = -rhoo e^-2 r / a
A carga total Q é:
Q = integral rho , dV
Como a distribuição é esfericamente simétrica, usamos coordenadas esféricas:
dV = 4pi r^2 dr
Então:
Q = -rhoo integral0^infty e^-2 r / a cdot 4pi r^2 dr

Passo 3

Resolvendo a integral:
integral0^infty e^-2 r / a r^2 dr
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja x = 2r/a, então r = a x2 e dr = a2 dx.
Substituindo:
integral0^infty e^-x (a x2)^2 cdot a2 dx = a^38 integral0^infty x^2 e^-x dx
Sabemos que:
integral0^infty x^2 e^-x dx = 2!
= 2
Então:
a^38 cdot 2 = a^34

Passo 4

Voltando à expressão de Q:
Q = -rhoo cdot 4pi cdot a^34 = -rhoo pi a^3
Sabemos que Q = -e, então:
-rhoo pi a^3 = -e
Simplificando:
rhoo pi a^3 = e
rhoo = epi a^3

Passo 5

Agora vamos calcular o campo elétrico E a uma distância r do núcleo. Para uma distribuição de carga esfericamente simétrica, usamos a lei de Gauss. A carga dentro de um raio r é:
Qdentro = integral0^r rho cdot 4pi r'^2 dr' = -rhoo cdot 4pi integral0^r e^-2 r' / a r'^2 dr'
Usando a expressão de rhoo que encontramos:
Qdentro = -epi a^3 cdot 4pi integral0^r e^-2 r' / a r'^2 dr'
= -4ea^3 integral0^r e^-2 r' / a r'^2 dr'

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral0^r e^-2 r' / a r'^2 dr'
Usando a substituição x = 2r'/a, então r' = a x2 e dr' = a2 dx:
integral0^2r/a e^-x (a x2)^2 cdot a2 dx = a^38 integral0^2r/a x^2 e^-x dx
A integral de x^2 e^-x de 0 a 2r/a é conhecida e pode ser expressa em termos de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 7

Após resolver a integral, substituímos de volta na expressão de Qdentro:
Qdentro = -4ea^3 cdot a^38 [2 - e^-2r/a(2 + 2r/a + (2r/a)^2)]
= -e2 [2 - e^-2r/a(2 + 2ra + 2r^2a^2)]
= -e [1 - 12 e^-2r/a(2 + 2ra + 2r^2a^2)]
= -e [1 - (1 + ra + r^2a^2) e^-2r/a]

Passo 8

Finalmente, aplicando a lei de Gauss, o campo elétrico E é:
E = Qdentro4pi epsilon0 r^2
= -e [1 - (1 + ra + r^2a^2) e^-2r/a]4pi epsilon0 r^2
= e4pi epsilon0 r^2 [1 - (1 + 2ra + 2r^2a^2) e^-2r/a]

Resposta

a) rho0 = epi a^3;
b) E = e4 pi epsilon0 r^2 [1 - (1 + 2 ra + 2 r^2a^2) e^-2 r / a]

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