Um tratamento baseado na mecânica quântica para o átomo de hidrogênio mostra que o elétron no átomo pode ser tratado como uma distribuição espalhada de carga negativa da forma , onde representa a distância ao centro do núcleo e o raio de Bohr. Calcule: a) ; b) o campo elétrico a uma distância do centro do núcleo. (Resp. a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de mecânica quântica aplicado ao átomo de hidrogênio. O elétron é descrito por uma distribuição de carga negativa dada por , onde é a distância do núcleo e é o raio de Bohr. Precisamos calcular duas coisas:
a) O valor de ;
b) O campo elétrico em uma distância do núcleo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de carga elétrica e campo elétrico, além de integrar a densidade de carga para encontrar .

Passo 2

Vamos começar calculando . Sabemos que a carga total do elétron deve ser igual a . Então, vamos integrar a densidade de carga sobre todo o espaço e igualar a .
A densidade de carga é dada por:
A carga total é:
Como a distribuição é esfericamente simétrica, usamos coordenadas esféricas:
Então:

Passo 3

Resolvendo a integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então e .
Substituindo:
Sabemos que:
Então:

Passo 4

Voltando à expressão de :
Sabemos que , então:
Simplificando:

Passo 5

Agora vamos calcular o campo elétrico a uma distância do núcleo. Para uma distribuição de carga esfericamente simétrica, usamos a lei de Gauss. A carga dentro de um raio é:
Usando a expressão de que encontramos:

Passo 6

Resolvendo a integral:
Usando a substituição , então e :
A integral de de 0 a é conhecida e pode ser expressa em termos de funções exponenciais e polinomiais.

Passo 7

Após resolver a integral, substituímos de volta na expressão de :

Passo 8

Finalmente, aplicando a lei de Gauss, o campo elétrico é:

Resposta

a) ;
b)

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Resp.
а) ;
b) para para e
onde
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