Um tratamento baseado na mecânica quântica para o átomo de hidrogênio mostra que o elétron no átomo pode ser tratado como uma distribuição espalhada de carga negativa da forma
, onde
representa a distância ao centro do núcleo e
o raio de Bohr. Calcule: a)
; b) o campo elétrico a uma distância
do centro do núcleo. (Resp. a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um problema de mecânica quântica aplicado ao átomo de hidrogênio. O elétron é descrito por uma distribuição de carga negativa dada por
, onde
é a distância do núcleo e
é o raio de Bohr. Precisamos calcular duas coisas:
a) O valor de ;
b) O campo elétrico em uma distância
do núcleo.
a) O valor de
b) O campo elétrico
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição de carga elétrica e campo elétrico, além de integrar a densidade de carga para encontrar
.
Passo 2
Vamos começar calculando
. Sabemos que a carga total do elétron deve ser igual a
. Então, vamos integrar a densidade de carga
sobre todo o espaço e igualar a
.
A densidade de carga é dada por:
A carga total
é:
Como a distribuição é esfericamente simétrica, usamos coordenadas esféricas:
Então:
Passo 3
Resolvendo a integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
e
.
Substituindo:
Sabemos que:
Então:
Passo 4
Voltando à expressão de
:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Passo 5
Agora vamos calcular o campo elétrico
a uma distância
do núcleo. Para uma distribuição de carga esfericamente simétrica, usamos a lei de Gauss. A carga dentro de um raio
é:
Usando a expressão de
que encontramos:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Usando a substituição
, então
e
:
A integral de
de 0 a
é conhecida e pode ser expressa em termos de funções exponenciais e polinomiais.
Passo 7
Após resolver a integral, substituímos de volta na expressão de
:
Passo 8
Finalmente, aplicando a lei de Gauss, o campo elétrico
é:
Resposta
a)
;
b)