Estude a diferenciabilidade da função
, no ponto
indicado:
(g)
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar se a função
é diferenciável no ponto
. A função está definida assim:
Conteúdo envolvido: Diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, calcular derivadas parciais e verificar a existência da aproximação linear.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual a forma da função no ponto
. Como
, usamos a parte da função:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Em termos simples, uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e são contínuas perto de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Agora, calculamos em
:
Passo 5
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Aplicando a regra do quociente novamente:
Calculando em
:
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, agora vamos verificar a continuidade das derivadas perto de
. A função
é composta por polinômios no numerador e denominador, o que significa que as derivadas parciais são contínuas em todo lugar onde
. Como
não está em
, as derivadas são contínuas ao redor desse ponto.
Passo 7
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em
, podemos concluir que a função
é diferenciável nesse ponto. Portanto, ela possui um plano tangente bem definido em
.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Suponha que as funções
e
sejam deriváveis e que
.
(a) Se , mostre que
.
(a) Se
Considere duas funções reais
e
e sejam
e
. Admitindo a existência das derivadas envolvidas, deduza que
Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
Se
, se
e
, mostre que as derivadas parciais
e
embora existam na origem, a função
não é diferenciável em
.