Estude a diferenciabilidade da função z = f(x, y), no ponto P0 indicado:
(g) z = { 3xy / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0); P0 = (1, 2) }

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar se a função é diferenciável no ponto . A função está definida assim:
Conteúdo envolvido: Diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Vamos precisar entender o que é diferenciabilidade, calcular derivadas parciais e verificar a existência da aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual a forma da função no ponto . Como , usamos a parte da função:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Em termos simples, uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por um plano tangente nesse ponto. Isso significa que as derivadas parciais existem e são contínuas perto de .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente:
Agora, calculamos em :

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a :
Aplicando a regra do quociente novamente:
Calculando em :

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, agora vamos verificar a continuidade das derivadas perto de . A função é composta por polinômios no numerador e denominador, o que significa que as derivadas parciais são contínuas em todo lugar onde . Como não está em , as derivadas são contínuas ao redor desse ponto.

Passo 7

Como as derivadas parciais existem e são contínuas em , podemos concluir que a função é diferenciável nesse ponto. Portanto, ela possui um plano tangente bem definido em .

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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