Considere duas partículas P1 e P2 viajando segundo as trajetórias: alpha1(t) = (t - 1, 3 + 2t, 4t - t^2) e alpha2(t) = (raiz(t + 1), t^2, 6 - t). As partículas colidem? Onde? Qual instante?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para descobrir se duas partículas, chamadas e , colidem em algum ponto de suas trajetórias. As trajetórias delas são dadas por funções que dependem do tempo . Vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especialmente igualando as posições das partículas para encontrar se e quando isso ocorre.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as trajetórias das duas partículas:
Para as partículas colidirem, elas precisam estar no mesmo lugar no mesmo instante. Isso significa que as coordenadas , e de ambas as trajetórias devem ser iguais para o mesmo valor de .

Passo 3

Vamos igualar as componentes correspondentes das duas trajetórias:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Precisamos encontrar um valor de que satisfaça as três equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos resolver cada equação separadamente:
  1. Para :
Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Assim, ou .
  1. Para :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
  1. Para :
Logo, ou .

Passo 5

Agora, vamos ver quais valores de satisfazem todas as três equações:
  • : Não satisfaz as equações de e .
  • : Não é válido porque representa tempo e não pode ser negativo.
  • : Não satisfaz a equação de .
  • : Vamos verificar:
    • Para : ✔️
    • Para : ✔️
    • Para : ✔️

Resposta

Sim, as partículas colidem no instante segundos, no ponto .

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