Considere duas partículas
e
viajando segundo as trajetórias:
e
. As partículas colidem? Onde? Qual instante?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para descobrir se duas partículas, chamadas
e
, colidem em algum ponto de suas trajetórias. As trajetórias delas são dadas por funções que dependem do tempo
. Vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especialmente igualando as posições das partículas para encontrar se e quando isso ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as trajetórias das duas partículas:
Para as partículas colidirem, elas precisam estar no mesmo lugar no mesmo instante. Isso significa que as coordenadas
,
e
de ambas as trajetórias devem ser iguais para o mesmo valor de
.
Passo 3
Vamos igualar as componentes correspondentes das duas trajetórias:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Precisamos encontrar um valor de
que satisfaça as três equações simultaneamente.
Passo 4
Vamos resolver cada equação separadamente:
- Para
:
Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Assim,
ou
.
- Para
:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
.
- Para
:
Logo,
ou
.
Passo 5
Agora, vamos ver quais valores de
satisfazem todas as três equações:
-
: Não satisfaz as equações de e . -
: Não é válido porque representa tempo e não pode ser negativo. -
: Não satisfaz a equação de . -
: Vamos verificar: - Para
: ✔️ - Para
: ✔️ - Para
: ✔️
- Para
Resposta
Sim, as partículas colidem no instante
segundos, no ponto
.
Exercícios relacionados
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
e
é o contorno do quadrado de vértices
.
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
e
é o círculo
.
Seja
o círculo unitário
, com orientação anti-horária e
uma constante real qualquer. Mostre que
A seguir, escreva a integral em termos de
para deduzir a fórmula
Sugestão: Defina a função
e aplique a fórmula integral de Cauchy com
.
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
.