Considere duas partículas e viajando segundo as trajetórias: e . As partículas colidem? Onde? Qual instante?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para descobrir se duas partículas, chamadas e , colidem em algum ponto de suas trajetórias. As trajetórias delas são dadas por funções que dependem do tempo . Vamos precisar usar conceitos de cinemática vetorial, especialmente igualando as posições das partículas para encontrar se e quando isso ocorre.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as trajetórias das duas partículas:
Para as partículas colidirem, elas precisam estar no mesmo lugar no mesmo instante. Isso significa que as coordenadas , e de ambas as trajetórias devem ser iguais para o mesmo valor de .

Passo 3

Vamos igualar as componentes correspondentes das duas trajetórias:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Precisamos encontrar um valor de que satisfaça as três equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos resolver cada equação separadamente:
  1. Para :
Primeiro, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Assim, ou .
  1. Para :
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou .
  1. Para :
Logo, ou .

Passo 5

Agora, vamos ver quais valores de satisfazem todas as três equações:
  • : Não satisfaz as equações de e .
  • : Não é válido porque representa tempo e não pode ser negativo.
  • : Não satisfaz a equação de .
  • : Vamos verificar:
    • Para : ✔️
    • Para : ✔️
    • Para : ✔️

Resposta

Sim, as partículas colidem no instante segundos, no ponto .

Exercícios relacionados

Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o contorno do quadrado de vértices .
Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o círculo .
Seja o círculo unitário , com orientação anti-horária e uma constante real qualquer. Mostre que
A seguir, escreva a integral em termos de para deduzir a fórmula
Sugestão: Defina a função e aplique a fórmula integral de Cauchy com .
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
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